Итоговое повторение Упр.171 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях р график данной функции имеет с прямой y=p две общие точки?

Подробный ответ

Преобразуем первую ветвь функции:

$$y=x^2+4x+5=(x+2)^2+1,\quad x<-1.$$

Значит, график состоит из двух частей:

парабола $$y=(x+2)^2+1$$ при $$x<-1$$;
прямая $$y=-2x$$ при $$x\ge -1$$.

Найдём, при каких значениях $$p$$ прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1) Для параболы:

$$ (x+2)^2+1=p \Rightarrow (x+2)^2=p-1. $$

Чтобы были две точки пересечения с ветвью $$x<-1$$, нужно, чтобы уравнение имело два корня, и оба удовлетворяли условию $$x<-1$$. Это возможно только при $$p>1$$, но тогда один из корней всегда больше $$-1$$, а второй меньше $$-1$$. Значит, на этой ветви может быть не более одной точки пересечения.

2) Для прямой:

$$ -2x=p \Rightarrow x=-\frac p2. $$

Эта точка принадлежит ветви $$x\ge -1$$, если

$$ -\frac p2\ge -1 \Rightarrow p\le 2. $$

Итак, чтобы всего было две общие точки, одна точка должна быть на параболе, а другая — на прямой. Это происходит при

$$p=1 \quad \text{и} \quad p=2.$$

Проверим:

при $$p=1$$ прямая $$y=1$$ касается параболы в вершине $$(-2,1)$$ и пересекает прямую $$y=-2x$$ в точке $$\left(-\frac12,1\right)$$;
при $$p=2$$ прямая $$y=2$$ пересекает параболу в точке $$(-3,2)$$ и прямую $$y=-2x$$ в точке $$(-1,2)$$.