Упр.17.56 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Три числа, сумма которых равна 31, можно рассматривать как три последовательных члена некоторой геометрической прогрессии или как первый, второй, седьмой члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

Пусть искомые числа — $$b_1,\ b_2,\ b_3$$.

Если они являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, то

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,$$

а по условию

$$b_1+b_2+b_3=31.$$

Тогда

$$b_1(1+q+q^2)=31.$$

Если эти же числа являются первым, вторым и седьмым членами арифметической прогрессии, то

$$b_3=b_1+6d,$$

где $$d=b_2-b_1.$$ Следовательно,

$$b_3=b_1+6(b_2-b_1)=6b_2-5b_1.$$

Подставим выражения для членов геометрической прогрессии:

$$b_1q^2=6b_1q-5b_1,$$

$$b_1(q^2-6q+5)=0.$$

Так как сумма чисел равна $$31$$, то $$b_1\neq 0$$, значит

$$q^2-6q+5=0,$$

$$D=36-20=16,$$

$$q_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$q_1=1,\quad q_2=5.$$

Найдём первое число:

$$b_1=\frac{31}{1+q+q^2}.$$

При $$q=1$$:

$$b_1=\frac{31}{1+1+1}=\frac{31}{3},$$

тогда

$$b_2=\frac{31}{3},\quad b_3=\frac{31}{3}.$$

При $$q=5$$:

$$b_1=\frac{31}{1+5+25}=1,$$

тогда

$$b_2=1\cdot 5=5,\quad b_3=5\cdot 5=25.$$

Ответ

$$1,\ 5,\ 25$$ или $$\frac{31}{3},\ \frac{31}{3},\ \frac{31}{3}$$.