Упр.17.55 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 17-55 95

Пусть $$b_1, b_2, b_3$$ — первые три члена геометрической прогрессии. Тогда

$$b_1+b_2+b_3=91.$$

После прибавления чисел $$25, 27, 1$$ получаем три последовательных члена арифметической прогрессии, значит средний равен полусумме крайних:

$$b_2+27=\frac{(b_1+25)+(b_3+1)}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$2b_2+54=b_1+b_3+26,$$

откуда

$$b_1+b_3=2b_2+28.$$

Совместно с $$b_1+b_2+b_3=91$$ получаем:

$$2b_2+28+b_2=91,$$

$$3b_2=63,$$

$$b_2=21.$$

Тогда

$$b_1+b_3=91-21=70.$$

Так как это геометрическая прогрессия, то

$$b_2^2=b_1b_3,$$

значит

$$b_1b_3=21^2=441.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} b_1+b_3=70,\\ b_1b_3=441. \end{cases} $$

Тогда числа $$b_1$$ и $$b_3$$ — корни уравнения

$$x^2-70x+441=0.$$

$$D=70^2-4\cdot 441=4900-1764=3136,$$

$$\sqrt{D}=56.$$

Следовательно,

$$x=\frac{70\pm 56}{2},$$

откуда

$$x_1=7,\quad x_2=63.$$

Значит, возможны две геометрические прогрессии:

$$7,\ 21,\ 63,\ldots$$

или

$$63,\ 21,\ 7,\ldots$$

Найдём седьмой член.

1) Если $$b_1=7$$, то $$q=3$$ и

$$b_7=7\cdot 3^6=5103,$$

что не подходит, так как $$b_7<1000$$.

2) Если $$b_1=63$$, то $$q=\frac{1}{3}$$ и

$$b_7=63\cdot \left(\frac13\right)^6=63\cdot \frac{1}{729}=\frac{7}{81}.$$

Ответ

$$\frac{7}{81}$$