Упр.17.54 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Сумма трех чисел, составляющих конечную арифметическую прогрессию, равна 24. Если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Найдите эти числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 17-54 95

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $$a_1,\ a_2,\ a_3.$$ Тогда

$$a_1+a_2+a_3=24.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних, значит

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Из условия суммы:

$$a_1+\frac{a_1+a_3}{2}+a_3=24,$$

$$2a_1+a_1+a_3+2a_3=48,$$

$$3(a_1+a_3)=48,$$

$$a_1+a_3=16.$$

Тогда

$$a_2=\frac{16}{2}=8.$$

После изменения второе число становится равным $$a_2+1=9,$$ а последнее — $$a_3+14.$$ Эти три числа образуют геометрическую прогрессию, значит

$$9^2=a_1(a_3+14).$$

Так как $$a_3=16-a_1,$$ получаем

$$81=a_1(16-a_1+14),$$

$$81=a_1(30-a_1),$$

$$a_1^2-30a_1+81=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=30^2-4\cdot 81=900-324=576,$$

$$\sqrt{D}=24.$$

Тогда

$$a_1=\frac{30-24}{2}=3 \quad \text{или} \quad a_1=\frac{30+24}{2}=27.$$

Если $$a_1=3,$$ то

$$a_3=16-3=13.$$

Если $$a_1=27,$$ то

$$a_3=16-27=-11.$$

Следовательно, искомые числа:

$$3,\ 8,\ 13$$

или

$$27,\ 8,\ -11.$$

Ответ

$$3,\ 8,\ 13$$ или $$27,\ 8,\ -11$$.