Упр.17.53 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию. Если последнее число уменьшить на 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9.

Пусть три числа геометрической прогрессии равны $$b_1=9,\; b_2,\; b_3.$$

Так как это геометрическая прогрессия, то

$$b_2^2=b_1b_3=9b_3.$$

Если последнее число уменьшить на $$16,$$ то получим арифметическую прогрессию $$9,\; b_2,\; b_3-16.$$ Тогда средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$b_2=\frac{9+(b_3-16)}{2}=\frac{b_3-7}{2}.$$

Подставим это в уравнение геометрической прогрессии:

$$\left(\frac{b_3-7}{2}\right)^2=9b_3.$$

$$\frac{(b_3-7)^2}{4}=9b_3$$

$$b_3^2-14b_3+49=36b_3$$

$$b_3^2-50b_3+49=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=50^2-4\cdot 49=2500-196=2304=48^2.$$

$$b_3=\frac{50\pm 48}{2}.$$

Отсюда

$$b_3=1 \quad \text{или} \quad b_3=49.$$

Найдём второе число:

$$b_2=\frac{b_3-7}{2}.$$

Если $$b_3=1,$$ то

$$b_2=\frac{1-7}{2}=-3.$$

Если $$b_3=49,$$ то

$$b_2=\frac{49-7}{2}=21.$$

Ответ

$$(-3;\,1) \text{ или } (21;\,49).$$