Упр.17.53 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию. Если последнее число уменьшить на 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 17-53 95

Подробный ответ

Пусть три числа геометрической прогрессии равны $$b_1=9,\; b_2,\; b_3.$$

Так как это геометрическая прогрессия, то

$$b_2^2=b_1b_3=9b_3.$$

Если последнее число уменьшить на $$16,$$ то получим арифметическую прогрессию $$9,\; b_2,\; b_3-16.$$ Тогда средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$b_2=\frac{9+(b_3-16)}{2}=\frac{b_3-7}{2}.$$

Подставим это в уравнение геометрической прогрессии:

$$\left(\frac{b_3-7}{2}\right)^2=9b_3.$$

$$\frac{(b_3-7)^2}{4}=9b_3$$

$$b_3^2-14b_3+49=36b_3$$

$$b_3^2-50b_3+49=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=50^2-4\cdot 49=2500-196=2304=48^2.$$

$$b_3=\frac{50\pm 48}{2}.$$

Отсюда

$$b_3=1 \quad \text{или} \quad b_3=49.$$

Найдём второе число: