Упр.17.52 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 к., во второй — 2 к., в третий — 4 к., в четвертый — 8 к. и т. д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 17-52 95

Подробный ответ

Богач получал каждый день по $$100000$$ р. в течение $$30$$ дней, значит, всего он получил

$$S_{\text{получ}}=30\cdot 100000=3000000\text{ р.}$$

Сумма, которую он отдал, образует геометрическую прогрессию:

$$b_1=1\text{ к.}=0{,}01\text{ р.}, \quad q=2, \quad n=30.$$

Тогда

$$ S_{30}=\frac{b_1(q^{30}-1)}{q-1} =\frac{0{,}01(2^{30}-1)}{2-1} =\frac{2^{30}-1}{100}\text{ р.} $$

Приближённо:

$$S_{30}\approx 10{,}7\cdot 10^6\text{ р.}$$

Так как $$10{,}7\cdot 10^6>3\cdot 10^6,$$ то богач отдал больше, чем получил.