Упр.17.50 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Докажите, что в конечной геометрической прогрессии, имеющей четное число членов, отношение суммы членов, стоящих на четных местах, к сумме членов, стоящих на нечетных местах, равно знаменателю прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 17-50 95

Пусть члены конечной геометрической прогрессии имеют вид $$b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n,$$ где $$n$$ — чётное число, а знаменатель прогрессии равен $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_4=b_3q,\quad \ldots,\quad b_n=b_{n-1}q.$$

Сложим члены, стоящие на чётных местах:

$$S_{\text{ч}}=b_2+b_4+\cdots+b_n=q(b_1+b_3+\cdots+b_{n-1}).$$

Сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна

$$S_{\text{н}}=b_1+b_3+\cdots+b_{n-1}.$$

Тогда

$$\frac{S_{\text{ч}}}{S_{\text{н}}}=\frac{q(b_1+b_3+\cdots+b_{n-1})}{b_1+b_3+\cdots+b_{n-1}}=q.$$

Следовательно, отношение суммы членов, стоящих на чётных местах, к сумме членов, стоящих на нечётных местах, равно знаменателю прогрессии.

Ответ

$$\frac{S_{\text{ч}}}{S_{\text{н}}}=q.$$