Упр.17.49 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
б) x+x3+x5+…+x35;
в) x2-x4+x6-…-x20;
г) 1/x+1/x2+…+1/x40, x=/0.
Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$
$$1+x+x^2+\dots+x^{100}$$
Это геометрическая прогрессия с $$b_1=1$$, $$q=x$$, $$n=101$$.
$$S_{101}=\frac{1\cdot(x^{101}-1)}{x-1}=\frac{x^{101}-1}{x-1}.$$
$$x+x^3+x^5+\dots+x^{35}$$
Здесь $$b_1=x$$, $$q=x^2$$, $$n=18$$.
$$S_{18}=\frac{x\big((x^2)^{18}-1\big)}{x^2-1}=\frac{x(x^{36}-1)}{x^2-1}.$$
$$x^2-x^4+x^6-\dots-x^{20}$$
Это геометрическая прогрессия с $$b_1=x^2$$, $$q=-x^2$$, $$n=10$$.
$$S_{10}=\frac{x^2\big(( -x^2)^{10}-1\big)}{-x^2-1}=\frac{x^2(x^{20}-1)}{-x^2-1}=\frac{x^2(1-x^{20})}{1+x^2}.$$
$$\frac1x+\frac1{x^2}+\dots+\frac1{x^{40}}, \quad x\ne 0$$
Здесь $$b_1=\frac1x$$, $$q=\frac1x$$, $$n=40$$.
$$S_{40}=\frac{\frac1x\left(\left(\frac1x\right)^{40}-1\right)}{\frac1x-1}.$$
Упростим:
$$S_{40}=\frac{\frac1x\left(\frac1{x^{40}}-1\right)}{\frac{1-x}{x}}=\frac{1-x^{40}}{x^{40}(1-x)}.$$
Ответ
а) $$\frac{x^{101}-1}{x-1}$$;
б) $$\frac{x(x^{36}-1)}{x^2-1}$$;
в) $$\frac{x^2(1-x^{20})}{1+x^2}$$;
г) $$\frac{1-x^{40}}{x^{40}(1-x)}$$, $$x\ne 0$$.
