Упр.17.48 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму: а) $$1+2+2^2+\dots+2^8$$; б) $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\dots+\frac{1}{2^{10}}$$; в) $$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\dots+\frac{1}{3^6}$$; г) $$1-3+3^2-3^3+\dots-3^9$$.

Во всех пунктах используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

1. а) $$1+2+2^2+\dots+2^8$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=1,$$ $$q=2,$$ $$n=9.$$ Тогда

   $$S_9=\frac{1\cdot(2^9-1)}{2-1}=2^9-1=512-1=511.$$

2. б) $$1-\frac12+\frac1{2^2}-\dots+\frac1{2^{10}}$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=1,$$ $$q=-\frac12,$$ $$n=11.$$ Тогда

   $$S_{11}=\frac{1\cdot\left(\left(-\frac12\right)^{11}-1\right)}{-\frac12-1}$$

   $$=\frac{-\frac1{2048}-1}{-\frac32}=\frac{-\frac{2049}{2048}}{-\frac32}=\frac{2049}{2048}\cdot\frac23=\frac{683}{1024}.$$

3. в) $$\frac13+\frac1{3^2}+\dots+\frac1{3^6}$$

   Здесь $$b_1=\frac13,$$ $$q=\frac13,$$ $$n=6.$$ Тогда

   $$S_6=\frac{\frac13\left(\left(\frac13\right)^6-1\right)}{\frac13-1}$$

   $$=\frac{\frac13\left(\frac1{729}-1\right)}{-\frac23}=\frac{\frac13\cdot\left(-\frac{728}{729}\right)}{-\frac23}=\frac{364}{729}.$$

4. г) $$1-3+3^2-3^3+\dots-3^9$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=1,$$ $$q=-3,$$ $$n=10.$$ Тогда

   $$S_{10}=\frac{1\cdot\left((-3)^{10}-1\right)}{-3-1}=\frac{59049-1}{-4}=-14762.$$

Ответ

а) $$511$$; б) $$\frac{683}{1024}$$; в) $$\frac{364}{729}$$; г) $$-14762$$.