Упр.17.46 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию. Объем параллелепипеда равен 216 м3, а сумма длин всех его ребер равна 104 м. Найдите измерения параллелепипеда. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 17-46 95

Пусть длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны $$a,\; b,\; c$$ и образуют геометрическую прогрессию. Тогда можно записать:

$$b=aq,\qquad c=aq^2.$$

По условию объём равен $$216\text{ м}^3$$, значит

$$abc=216.$$

Подставим выражения для $$b$$ и $$c$$:

$$a\cdot aq\cdot aq^2=a^3q^3=216,$$

откуда

$$aq=6.$$

Сумма длин всех рёбер равна $$104\text{ м}$$, а у параллелепипеда она равна $$4(a+b+c)$$. Тогда

$$4(a+b+c)=104,$$

$$a+b+c=26.$$

Подставим $$b=aq$$ и $$c=aq^2$$:

$$a(1+q+q^2)=26.$$

Так как $$a=\dfrac{6}{q}$$, получаем

$$\frac{6}{q}(1+q+q^2)=26,$$

$$6(q^2+q+1)=26q,$$

$$3q^2-10q+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=100-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

$$q=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Отсюда

$$q_1=\frac13,\qquad q_2=3.$$

Если $$q=\frac13$$, то последовательность убывает, а если $$q=3$$, то возрастает. В обоих случаях набор размеров один и тот же:

$$a=2,\qquad b=6,\qquad c=18.$$

Проверка:

$$2\cdot 6\cdot 18=216,$$

$$4(2+6+18)=104.$$

Ответ

$$2\text{ м},\; 6\text{ м},\; 18\text{ м}.$$