Упр.17.42 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Первый член возрастающей геометрической прогрессии (bn) равен 4, а сумма третьего и пятого членов равна 80. Найдите q и b10, если известно, что прогрессия возрастающая. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 17-42 95

Пусть $$b_1=4$$, а знаменатель геометрической прогрессии равен $$q$$. Так как прогрессия возрастающая, то $$q>1$$.

Тогда

$$b_3=b_1q^2,\qquad b_5=b_1q^4.$$

По условию:

$$b_3+b_5=80.$$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$$4q^2+4q^4=80,$$

$$q^2+q^4=20.$$

Обозначим $$x=q^2$$. Тогда получаем уравнение

$$x+x^2=20,$$

$$x^2+x-20=0.$$

Решим его:

$$D=1+80=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-5 \quad \text{(не подходит)},$$

$$x_2=4.$$

Значит, $$q^2=4$$, а так как $$q>1$$, то

$$q=2.$$

Найдём десятый член:

$$b_{10}=b_1q^9=4\cdot 2^9=4\cdot 512=2048.$$

Ответ

$$q=2,\quad b_{10}=2048.$$