Упр.17.41 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. а) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия $$(b_n)$$. Найдите знаменатель прогрессии и сумму её первых пяти членов, если $$b_1=5,\quad b_3=80$$.
   б) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия $$(b_n)$$. Найдите знаменатель прогрессии и сумму её первых семи членов, если $$b_1=1,\quad b_3=8$$.

а) Для геометрической прогрессии $$b_3=b_1q^2.$$ Тогда

$$80=5q^2 \\ q^2=16 \\ q=-4$$

Так как прогрессия знакочередующаяся, берём отрицательный знаменатель.

Найдём сумму первых пяти членов:

$$S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{5\bigl(1-(-4)^5\bigr)}{1-(-4)}=\frac{5(1+1024)}{5}=1025$$

б) Аналогично,

$$b_3=b_1q^2 \\ 8=1\cdot q^2 \\ q^2=8 \\ q=-2\sqrt{2}$$

Найдём сумму первых семи членов:

$$S_7=\frac{b_1(1-q^7)}{1-q}=\frac{1-\left(-2\sqrt{2}\right)^7}{1+2\sqrt{2}}$$

$$\left(-2\sqrt{2}\right)^7=-1024\sqrt{2}$$

Тогда

$$S_7=\frac{1+1024\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}} =\frac{(1+1024\sqrt{2})(1-2\sqrt{2})}{(1+2\sqrt{2})(1-2\sqrt{2})} =\frac{4095-1022\sqrt{2}}{-7} =585-146\sqrt{2}$$

Ответ

а) $$q=-4,\; S_5=1025$$

б) $$q=-2\sqrt{2},\; S_7=585-146\sqrt{2}$$