Упр.17.41 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

б) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия (bn). Найдите знаменатель прогрессии и сумму ее первых семи членов, если b1 = 1, b3 = 8.

а) Для геометрической прогрессии $$b_3=b_1q^2.$$ Тогда

$$ 80=5q^2 \\ q^2=16 \\ q=-4 $$

Так как прогрессия знакочередующаяся, берём отрицательный знаменатель.

Найдём сумму первых пяти членов:

$$ S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{5\bigl(1-(-4)^5\bigr)}{1-(-4)}=\frac{5(1+1024)}{5}=1025 $$

б) Аналогично,

$$ b_3=b_1q^2 \\ 8=1\cdot q^2 \\ q^2=8 \\ q=-2\sqrt{2} $$

Найдём сумму первых семи членов:

$$ S_7=\frac{b_1(1-q^7)}{1-q}=\frac{1-\left(-2\sqrt{2}\right)^7}{1+2\sqrt{2}} $$

$$ \left(-2\sqrt{2}\right)^7=-1024\sqrt{2} $$

Тогда

$$ S_7=\frac{1+1024\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}} =\frac{(1+1024\sqrt{2})(1-2\sqrt{2})}{(1+2\sqrt{2})(1-2\sqrt{2})} =\frac{4095-1022\sqrt{2}}{-7} =585-146\sqrt{2} $$

Ответ

а) $$q=-4,\; S_5=1025$$

б) $$q=-2\sqrt{2},\; S_7=585-146\sqrt{2}$$