Упр.17.39 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

В конечной геометрической прогрессии указаны первый член $$b_1$$, знаменатель $$q$$ и сумма $$S_n$$ всех её членов. Найдите число членов прогрессии:

а) $$b_1=5$$, $$q=3$$, $$S_n=200$$;

б) $$b_1=-1$$, $$q=\frac{1}{2}$$, $$S_n=-1\cdot\frac{63}{64}$$;

в) $$b_1=3$$, $$q=2$$, $$S_n=189$$;

г) $$b_1=3$$, $$q=\frac{1}{3}$$, $$S_n=4\cdot\frac{13}{27}$$.

Подробный ответ

Используем формулу суммы первых n членов конечной геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

$$b_1=5,\ q=3,\ S_n=200.$$
$$200=\frac{5(3^n-1)}{3-1}=\frac{5(3^n-1)}{2}.$$
$$400=5(3^n-1),$$
$$80=3^n-1,$$
$$3^n=81=3^4,$$
значит, $$n=4.$$
$$b_1=-1,\ q=\frac12,\ S_n=-1\frac{63}{64}=-\frac{127}{64}.$$
$$-\frac{127}{64}=\frac{-1\left(\left(\frac12\right)^n-1\right)}{\frac12-1}.$$
Так как $$\frac12-1=-\frac12,$$ получаем
$$-\frac{127}{64}=2\left(\left(\frac12\right)^n-1\right).$$
$$-\frac{127}{128}=\left(\frac12\right)^n-1,$$
$$\left(\frac12\right)^n=\frac{1}{128}=\left(\frac12\right)^7,$$
значит, $$n=7.$$
$$b_1=3,\ q=2,\ S_n=189.$$
$$189=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1).$$
$$63=2^n-1,$$
$$2^n=64=2^6,$$
значит, $$n=6.$$
$$b_1=3,\ q=\frac13,\ S_n=4\frac{13}{27}=\frac{121}{27}.$$
$$\frac{121}{27}=\frac{3\left(\left(\frac13\right)^n-1\right)}{\frac13-1}.$$
Так как $$\frac13-1=-\frac23,$$ то
$$\frac{121}{27}=-\frac{9}{2}\left(\left(\frac13\right)^n-1\right).$$
Умножим на $$-\frac{2}{9}$$:
$$-\frac{242}{243}=\left(\frac13\right)^n-1,$$
$$\left(\frac13\right)^n=\frac{1}{243}=\left(\frac13\right)^5,$$
значит, $$n=5.$$