Упр.17.39 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) b1 = 5, q = 3, Sn = 200;
б) b1 = -1, q = 1/2; Sn=-1*63/64;
в) b1 = 3, q = 2, Sn = 189;
г) b1 = 3, q=1/3, Sn=4*13/27.

Используем формулу суммы первых n членов конечной геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

1. $$b_1=5,\ q=3,\ S_n=200.$$

   $$200=\frac{5(3^n-1)}{3-1}=\frac{5(3^n-1)}{2}.$$

   $$400=5(3^n-1),$$

   $$80=3^n-1,$$

   $$3^n=81=3^4,$$

   значит, $$n=4.$$

2. $$b_1=-1,\ q=\frac12,\ S_n=-1\frac{63}{64}=-\frac{127}{64}.$$

   $$-\frac{127}{64}=\frac{-1\left(\left(\frac12\right)^n-1\right)}{\frac12-1}.$$

   Так как $$\frac12-1=-\frac12,$$ получаем

   $$-\frac{127}{64}=2\left(\left(\frac12\right)^n-1\right).$$

   $$-\frac{127}{128}=\left(\frac12\right)^n-1,$$

   $$\left(\frac12\right)^n=\frac{1}{128}=\left(\frac12\right)^7,$$

   значит, $$n=7.$$

3. $$b_1=3,\ q=2,\ S_n=189.$$

   $$189=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1).$$

   $$63=2^n-1,$$

   $$2^n=64=2^6,$$

   значит, $$n=6.$$

4. $$b_1=3,\ q=\frac13,\ S_n=4\frac{13}{27}=\frac{121}{27}.$$

   $$\frac{121}{27}=\frac{3\left(\left(\frac13\right)^n-1\right)}{\frac13-1}.$$

   Так как $$\frac13-1=-\frac23,$$ то

   $$\frac{121}{27}=-\frac{9}{2}\left(\left(\frac13\right)^n-1\right).$$

   Умножим на $$-\frac{2}{9}$$:

   $$-\frac{242}{243}=\left(\frac13\right)^n-1,$$

   $$\left(\frac13\right)^n=\frac{1}{243}=\left(\frac13\right)^5,$$

   значит, $$n=5.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$7$$; в) $$6$$; г) $$5$$.