Упр.17.38 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Укажите номера всех тех членов заданной геометрической прогрессии, которые меньше заданного числа $$A$$:
   а) $$1, 3, 9, 27, \ldots,\quad A=729$$;
   б) $$3, 1{,}5, 0{,}75, \ldots,\quad A=\frac{3}{32}$$;
   в) $$243, 81, 27, \ldots,\quad A=\frac{1}{81}$$;
   г) $$16, 8\sqrt{2}, 8, \ldots,\quad A=1$$.

1. а) $$1, 3, 9, 27, \ldots,\quad A=729$$

   $$b_1=1,\quad q=3$$

   $$b_n=b_1q^{n-1}=3^{n-1}$$

   Найдём, при каких $$n$$ выполняется неравенство:

   $$3^{n-1}<729=3^6$$

   $$n-1<6,\quad n<7$$

   Значит, подходят члены с номерами $$n=1,2,3,4,5,6.$$

2. б) $$3, 1{,}5, 0{,}75, \ldots,\quad A=\frac{3}{32}$$

   $$b_1=3,\quad q=\frac12$$

   $$b_n=3\left(\frac12\right)^{n-1}$$

   Решаем неравенство:

   $$3\left(\frac12\right)^{n-1}<\frac{3}{32}$$

   $$\left(\frac12\right)^{n-1}<\frac{1}{32}=\left(\frac12\right)^5$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ то

   $$n-1>5,\quad n>6$$

   Значит, подходят члены с номерами $$n\ge 7.$$

3. в) $$243, 81, 27, \ldots,\quad A=\frac{1}{81}$$

   $$b_1=243,\quad q=\frac13$$

   $$b_n=243\left(\frac13\right)^{n-1}$$

   Решаем неравенство:

   $$243\left(\frac13\right)^{n-1}<\frac{1}{81}$$

   $$\left(\frac13\right)^{n-1}<\frac{1}{81\cdot 243}=\frac{1}{3^{12}}=\left(\frac13\right)^{12}$$

   Так как $$0<\frac13<1,$$ то

   $$n-1>12,\quad n>13$$

   Значит, подходят члены с номерами $$n\ge 14.$$

4. г) $$16, 8\sqrt2, 8, \ldots,\quad A=1$$

   $$b_1=16,\quad q=\frac{1}{\sqrt2}$$

   $$b_n=16\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{n-1}$$

   Решаем неравенство:

   $$16\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{n-1}<1$$

   $$\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{n-1}<\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^8$$

   Так как $$0<\frac{1}{\sqrt2}<1,$$ то

   $$n-1>8,\quad n>9$$

   Значит, подходят члены с номерами $$n\ge 10.$$

Ответ

а) $$n=1,2,3,4,5,6$$; б) $$n\ge 7$$; в) $$n\ge 14$$; г) $$n\ge 10$$.