Итоговое повторение Упр.169 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) Постройте график функции y=(x^3+3x^2+2x)/(x+1) и найдите, при каких значениях p прямая y=p имеет с графиком данной функции одну общую точку.

Подробный ответ

а) Упростим функцию:

$$ y=\frac{x^3+x^2-4x-4}{x-2} =\frac{x^2(x+1)-4(x+1)}{x-2} =\frac{(x+1)(x^2-4)}{x-2} =\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{x-2}. $$

При $$x\ne 2$$ получаем

$$ y=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2. $$

Но точка $$x=2$$ исключается из области определения, поэтому на графике параболы есть выколотая точка:

$$ y(2)=2^2+3\cdot 2+2=12. $$

Значит, график — парабола $$y=x^2+3x+2$$ с выколотой точкой $$\bigl(2;12\bigr)$$.

Чтобы прямая $$y=p$$ имела с графиком одну общую точку, горизонтальная прямая должна касаться параболы в вершине или проходить через выколотую точку так, чтобы оставалась одна точка пересечения.

Вершина параболы:

$$ x_0=-\frac{3}{2}, \qquad y_0=\left(-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(-\frac{3}{2}\right)+2=-\frac14. $$

Следовательно, при $$p=-\frac14$$ прямая касается графика в вершине.

Кроме того, при $$p=12$$ прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них соответствует исключённому значению $$x=2$$, поэтому на графике остаётся одна общая точка.

б) Упростим функцию:

$$ y=\frac{x^3+3x^2+2x}{x+1} =\frac{x(x^2+3x+2)}{x+1} =\frac{x(x+1)(x+2)}{x+1}. $$

При $$x\ne -1$$ получаем

$$ y=x(x+2)=x^2+2x=(x+1)^2-1. $$

Но точка $$x=-1$$ исключается из области определения, значит график — парабола $$y=(x+1)^2-1$$ с выколотой точкой $$(-1;-1)$$.

Чтобы прямая $$y=p$$ имела с графиком одну общую точку, она должна касаться параболы в вершине. Вершина имеет координаты:

$$ (-1;-1). $$

Но эта точка выколота, поэтому при любом $$p$$ либо пересечений нет, либо их две. Значит, значений $$p$$ не существует.