Упр.16.70 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если числа $$\frac{1}{a+b}$$, $$\frac{1}{a+c}$$, $$\frac{1}{c+b}$$ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа $$a^2$$, $$b^2$$, $$c^2$$ также образуют конечную арифметическую прогрессию.

Так как числа $$\frac{1}{a+b},\ \frac{1}{a+c},\ \frac{1}{c+b}$$ в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то средний член равен полусумме крайних:

$$\frac{1}{a+c}=\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+b}}{2}.$$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a+c}=\frac{c+b+a+b}{2(a+b)(c+b)}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$2(a+b)(c+b)=(a+c)(a+c+2b).$$

Раскроем скобки:

$$2(ab+ac+b^2+bc)=a^2+2ac+c^2+2ab+2bc.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2b^2=a^2+c^2.$$

Тогда

$$b^2=\frac{a^2+c^2}{2},$$

то есть число $$b^2$$ является средним арифметическим чисел $$a^2$$ и $$c^2$$. Следовательно, числа $$a^2,\ b^2,\ c^2$$ образуют конечную арифметическую прогрессию.

Ответ

$$a^2,\ b^2,\ c^2$$ образуют конечную арифметическую прогрессию.