Упр.16.69 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) аb + bс + ас = 3ас; б) b/c + b/a = 2.

Если числа $$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$$ образуют арифметическую прогрессию, то средний член равен полусумме соседних:

$$\frac{1}{b}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{2}.$$

Преобразуем:

$$\frac{1}{b}=\frac{a+c}{2ac}.$$

Отсюда

$$2ac=b(a+c).$$

а) Раскроем скобки:

$$2ac=ab+bc.$$

Прибавим к обеим частям $$ac$$:

$$2ac+ac=ab+bc+ac.$$

Получаем:

$$3ac=ab+bc+ac.$$

Что и требовалось доказать.

б) Из равенства $$2ac=b(a+c)$$ разделим обе части на $$ac$$:

$$2=\frac{b(a+c)}{ac}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}.$$

Следовательно,

$$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2.$$

Ответ

а) $$ab+bc+ac=3ac$$; б) $$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2$$.