Упр.16.60 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. При делении девятого члена арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, на второй член в частном получается $$5$$, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается $$2$$, а в остатке $$5$$. Найдите первый член и разность прогрессии.

Запишем члены арифметической прогрессии через первый член $$a_1$$ и разность $$d$$:

$$a_2=a_1+d,\quad a_6=a_1+5d,\quad a_9=a_1+8d,\quad a_{13}=a_1+12d.$$

По условию:

$$\frac{a_9}{a_2}=5,\qquad \frac{a_{13}}{a_6}=2+\frac{5}{a_6}.$$

Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} \dfrac{a_1+8d}{a_1+d}=5,\\[6pt] \dfrac{a_1+12d}{a_1+5d}=2+\dfrac{5}{a_1+5d}. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$a_1+8d=5a_1+5d,$$

$$4a_1=3d,$$

$$a_1=\frac{3d}{4}.$$

Из второго уравнения:

$$a_1+12d=2(a_1+5d)+5,$$

$$a_1+12d=2a_1+10d+5,$$

$$a_1=2d-5.$$

Приравниваем выражения для $$a_1$$:

$$\frac{3d}{4}=2d-5,$$

$$3d=8d-20,$$

$$5d=20,$$

$$d=4.$$

Тогда

$$a_1=2\cdot 4-5=3.$$

Ответ

$$a_1=3,\ d=4.$$