Упр.16.59 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13.

а) Найдём сумму всех трёхзначных чисел, кратных $7$.

Это арифметическая прогрессия:

$$105,\ 112,\ 119,\ \dots,\ 994$$

Первый член: $$a_1=105,$$ последний: $$a_{128}=994.$$

Число членов:

$$n=\frac{994-105}{7}+1=128.$$

Тогда

$$S_1=\frac{105+994}{2}\cdot 128=70336.$$

Найдём сумму трёхзначных чисел, кратных и $7$, и $13$, то есть кратных $91$.

Это прогрессия:

$$182,\ 273,\ 364,\ \dots,\ 910$$

Первый член: $$a_1=182,$$ последний: $$a_{10}=910.$$

Число членов:

$$n=\frac{910-182}{91}+1=9.$$

Тогда

$$S_2=\frac{182+910}{2}\cdot 9=4914.$$

Искомая сумма:

$$S=S_1-S_2=70336-4914=65422.$$

б) Найдём сумму всех трёхзначных чисел, не делящихся ни на $7$, ни на $13$.

Сначала найдём сумму всех трёхзначных чисел:

$$100,\ 101,\ \dots,\ 999$$

Это арифметическая прогрессия, поэтому

$$S_4=\frac{100+999}{2}\cdot 900=494550.$$

Сумма трёхзначных чисел, кратных $13$:

$$104,\ 117,\ 130,\ \dots,\ 988$$

Первый член: $$a_1=104,$$ последний: $$a_{68}=988.$$

Число членов:

$$n=\frac{988-104}{13}+1=69.$$

Тогда

$$S_2=\frac{104+988}{2}\cdot 69=37674.$$

Сумма чисел, кратных и $7$, и $13$, уже найдена:

$$S_3=4914.$$

По формуле включений и исключений:

$$S=S_4-S_1-S_2+S_3$$

$$S=494550-70336-37674+4914=391454.$$

Ответ

а) $65422$; б) $391454$.