Упр.16.31 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго и третьего ее членов равно 21. Запишите первые пять членов этой прогрессии, если известно, что третий ее член — положительное число. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 16-31 95

Обозначим первый член арифметической прогрессии через $$a_1$$, а разность — через $$d$$. Тогда

$$a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_5=a_1+4d.$$

По условию:

$$a_2+a_5=18,$$

$$a_2\cdot a_3=21.$$

Выразим члены через $$a_2$$ и $$d$$:

$$a_5=a_2+3d,\quad a_3=a_2+d.$$

Тогда получаем систему:

$$ \begin{cases} a_2+(a_2+3d)=18,\\ a_2(a_2+d)=21. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$2a_2+3d=18,$$

$$a_2=9-\frac{3}{2}d.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\left(9-\frac{3}{2}d\right)\left(9-\frac{3}{2}d+d\right)=21,$$

$$\left(9-\frac{3}{2}d\right)\left(9-\frac{1}{2}d\right)=21.$$

Раскроем скобки:

$$81-9d-\frac{27}{2}d+\frac{3}{4}d^2=21,$$

$$\frac{3}{4}d^2-18d+60=0.$$

Умножим на 4:

$$3d^2-72d+240=0,$$

$$d^2-24d+80=0.$$

Найдём корни:

$$D=24^2-4\cdot 80=576-320=256,$$

$$d=\frac{24\pm 16}{2}.$$

Получаем:

$$d_1=4,\quad d_2=20.$$

Найдём соответствующие значения $$a_2$$:

при $$d=4$$

$$a_2=9-\frac{3}{2}\cdot 4=3,$$

тогда $$a_3=3+4=7>0$$ — подходит;

при $$d=20$$

$$a_2=9-\frac{3}{2}\cdot 20=-21,$$

тогда $$a_3=-21+20=-1<0$$ — не подходит, так как по условию $$a_3$$ положительное.

Значит, $$a_2=3$$ и $$d=4$$.

Найдём первые пять членов прогрессии:

$$a_1=a_2-d=3-4=-1,$$

$$a_2=3,$$

$$a_3=7,$$

$$a_4=11,$$

$$a_5=15.$$

Ответ

$$-1;\ 3;\ 7;\ 11;\ 15$$