Упр.16.30 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвертого её членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, а $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_5=a_1+4d,\quad a_2=a_1+d,\quad a_4=a_1+3d.$$

По условию:

$$a_1+a_5=14,$$

$$a_2\cdot a_4=45.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} a_1+(a_1+4d)=14,\\ (a_1+d)(a_1+3d)=45. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$2a_1+4d=14,$$

$$a_1=7-2d.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(7-2d+d)(7-2d+3d)=45,$$

$$(7-d)(7+d)=45,$$

$$49-d^2=45,$$

$$d^2=4.$$

Так как прогрессия возрастающая, то $$d>0$$, значит $$d=2$$.

Тогда

$$a_1=7-2\cdot 2=3.$$

Найдём шестой член:

$$a_6=a_1+5d=3+5\cdot 2=13.$$

Ответ

13