Упр.15.42 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что последовательность убывает: а) $$a_n=\frac{1}{2n}$$; б) $$b_n=\frac{n+1}{n}$$; в) $$c_n=1+\frac{1}{3n}$$; г) $$d_n=\frac{1}{3n}$$.

1. $$a_n=\frac{1}{2n}$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)}=\frac{1}{2n+2}.$$

   Так как $$2n+2>2n$$, то

   $$a_{n+1}<a_n.$$

   Следовательно, последовательность $$a_n$$ убывает.

2. $$b_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$$

   Тогда

   $$b_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}.$$

   Так как $$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$$, то

   $$b_{n+1}<b_n.$$

   Следовательно, последовательность $$b_n$$ убывает.

3. $$c_n=1+\frac{1}{3n}$$

   Тогда

   $$c_{n+1}=1+\frac{1}{3(n+1)}=1+\frac{1}{3n+3}.$$

   Так как $$3n+3>3n$$, то

   $$c_{n+1}<c_n.$$

   Следовательно, последовательность $$c_n$$ убывает.

4. $$d_n=\frac{1}{3^n}$$

   Тогда

   $$d_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3\cdot 3^n}.$$

   Поскольку $$3^{n+1}>3^n$$, имеем

   $$d_{n+1}<d_n.$$

   Следовательно, последовательность $$d_n$$ убывает.

Ответ

Все четыре последовательности убывают.