Упр.15.41 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) an=1-1/2n;
б) bn=(n-1)/n;
в) cn=1-1/2n;
г) dn=5n/(n+1).

1. а) $$a_n=1-\frac{1}{2n}$$

   Найдём следующий член последовательности:

   $$a_{n+1}=1-\frac{1}{2(n+1)}$$

   Так как $$n+1>n$$, то $$\frac{1}{2(n+1)}<\frac{1}{2n}$$, значит

   $$a_{n+1}>a_n.$$

   Следовательно, последовательность возрастает.

2. б) $$b_n=\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}$$

   Тогда

   $$b_{n+1}=\frac{(n+1)-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$$

   Поскольку $$n+1>n$$, имеем $$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$$, значит

   $$b_{n+1}>b_n.$$

   Следовательно, последовательность возрастает.

3. в) $$c_n=1-\frac{1}{2n}$$

   Аналогично пункту а):

   $$c_{n+1}=1-\frac{1}{2(n+1)}$$

   Так как $$\frac{1}{2(n+1)}<\frac{1}{2n}$$, то

   $$c_{n+1}>c_n.$$

   Следовательно, последовательность возрастает.

4. г) $$d_n=\frac{5n}{n+1}$$

   Найдём следующий член:

   $$d_{n+1}=\frac{5(n+1)}{(n+1)+1}=\frac{5(n+1)}{n+2}$$

   Сравним $$d_{n+1}$$ и $$d_n$$:

   $$d_{n+1}-d_n=\frac{5(n+1)}{n+2}-\frac{5n}{n+1}$$

   $$=\frac{5\big((n+1)^2-n(n+2)\big)}{(n+1)(n+2)}=\frac{5}{(n+1)(n+2)}>0.$$

   Значит, $$d_{n+1}>d_n$$, и последовательность возрастает.

Ответ

Все данные последовательности возрастают.