Упр.15.37 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Последовательность задана рекуррентным способом. Перейдите к аналитическому заданию, т. е. найдите формулу её $$n$$-го члена:

а) $$x_1=3,\quad x_n=x_{n-1}+5\quad (n=2,3,4,\ldots)$$;

б) $$x_1=2,\quad x_n=3x_{n-1}\quad (n=2,3,4,\ldots)$$;

в) $$x_1=11,\quad x_n=x_{n-1}-4\quad (n=2,3,4,\ldots)$$;

г) $$x_1=3,\quad x_n=\quad (n=2,3,4,\ldots)$$.

1. а) Последовательность задаёт арифметическую прогрессию с первым членом $$x_1=3$$ и разностью $$d=5$$.

   Тогда

   $$x_n=x_1+(n-1)d=3+5(n-1)=5n-2.$$

2. б) Здесь каждый следующий член в 3 раза больше предыдущего, значит это геометрическая прогрессия с $$x_1=2$$ и знаменателем $$q=3$$.

   Тогда

   $$x_n=x_1q^{\,n-1}=2\cdot 3^{n-1}.$$

3. в) Последовательность — арифметическая прогрессия с $$x_1=11$$ и разностью $$d=-4$$.

   Следовательно,

   $$x_n=x_1+(n-1)d=11-4(n-1)=15-4n.$$

4. г) Каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего, значит это геометрическая прогрессия с $$x_1=3$$ и знаменателем $$q=\frac12$$.

   Тогда

   $$x_n=x_1q^{\,n-1}=3\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac{3}{2^{n-1}}.$$

Ответ

а) $$x_n=5n-2$$; б) $$x_n=2\cdot 3^{n-1}$$; в) $$x_n=15-4n$$; г) $$x_n=\frac{3}{2^{n-1}}$$.