Упр.15.28 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Составьте одну из возможных формул $$n$$-го члена последовательности по первым пяти её членам:
   а) $$1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{9},\ldots$$;
   б) $$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\ldots$$;
   в) $$1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25},\ldots$$;
   г) $$\frac{1}{1\cdot2},\frac{1}{2\cdot3},\frac{1}{3\cdot4},\frac{1}{4\cdot5},\frac{1}{5\cdot6},\ldots$$.

По первым членам последовательностей подберём общий вид формулы.

1. а) Знаменатели: $$1,3,5,7,9,\dots$$ — это нечётные числа, то есть $$2n-1$$.

   Значит, $$x_n=\frac{1}{2n-1}.$$

2. б) Числители: $$1,2,3,4,5,\dots$$, знаменатели на единицу больше: $$2,3,4,5,6,\dots$$.

   Следовательно, $$x_n=\frac{n}{n+1}.$$

3. в) Знаменатели: $$1,4,9,16,25,\dots$$ — это квадраты натуральных чисел.

   Поэтому $$x_n=\frac{1}{n^2}.$$

4. г) Первый член $$\frac{1}{1\cdot 2}$$, второй $$\frac{1}{2\cdot 3}$$, третий $$\frac{1}{3\cdot 4}$$ и т. д.

   Общий член имеет вид $$x_n=\frac{1}{n(n+1)}.$$

Ответ

а) $$x_n=\frac{1}{2n-1}$$; б) $$x_n=\frac{n}{n+1}$$; в) $$x_n=\frac{1}{n^2}$$; г) $$x_n=\frac{1}{n(n+1)}$$.