Упр.14.28 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- Решите графически систему неравенств:
а) $$\begin{cases}x+y>2,\\ y-\sqrt[3]{x}>0;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}xy+1\geqslant0,\\ y-\sqrt[3]{x}\leqslant0.\end{cases}$$
а) Систему перепишем в виде
$$\begin{cases} x+y>2,\\ y>\sqrt[3]{x} \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} y>2-x,\\ y>\sqrt[3]{x} \end{cases}$$
Нужно взять точки, лежащие выше прямой $$y=2-x$$ и выше графика $$y=\sqrt[3]{x}$$. Общая часть этих областей существует при всех $$x$$, поэтому решение — все действительные числа.
б) Имеем
$$\begin{cases} xy+1\ge 0,\\ y-\sqrt[3]{x}\le 0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} y\ge -\dfrac{1}{x},\\ y\le \sqrt[3]{x} \end{cases}$$
При $$x=0$$ первое неравенство не имеет смысла, значит $$x\ne 0$$. Рассмотрим, где графики $$y=-\dfrac{1}{x}$$ и $$y=\sqrt[3]{x}$$ пересекаются:
$$-\frac{1}{x}=\sqrt[3]{x}$$
При $$x>0$$ левая часть отрицательна, а правая положительна, равенство невозможно. При $$x<0$$ левая часть положительна, а правая отрицательна, тоже невозможно. Значит, графики не пересекаются, и общая часть областей существует только при $$x>0$$.
Тогда для всех $$x>0$$ выполняется $$-\dfrac{1}{x}\le \sqrt[3]{x}$$, и решениями являются все точки между этими графиками.
Ответ
а) $$x\in(-\infty;+\infty)$$;
б) $$x\in(0;+\infty)$$.
