Упр.14.19 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) корень 3 степени x = 10 — х; б) корень 3 степени х = |х|.
Постройте и прочитайте график функции:
а) y= система
-2x, если x<-0;
корень 3 степени x, если x>0
б) y= система
корень 3 степени x, если x<=1;
1/x, если x>1.
а) Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} y=\sqrt[3]{x},\\ y=10-x. \end{cases} $$
Точка пересечения графиков удовлетворяет уравнению
$$ \sqrt[3]{x}=10-x. $$
Проверим значение $$x=8$$:
$$ \sqrt[3]{8}=2,\qquad 10-8=2. $$
Значит, графики пересекаются в точке $$ (8;2) $$, поэтому
$$ x=8. $$
б) Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} y=\sqrt[3]{x},\\ y=|x|. \end{cases} $$
Найдём точки пересечения:
$$ \sqrt[3]{x}=|x|. $$
Проверим подходящие значения:
$$ x=0:\ \sqrt[3]{0}=0,\ |0|=0; $$
$$ x=1:\ \sqrt[3]{1}=1,\ |1|=1. $$
Других точек пересечения нет, так как при $$x<0$$ левая часть отрицательна, а правая неотрицательна.
Следовательно, точки пересечения: $$ (0;0) $$ и $$ (1;1) $$, то есть
$$ x_1=0,\quad x_2=1. $$
в) Функция
$$ y= \begin{cases} -2x, & x\le 0,\\ \sqrt[3]{x}, & x>0 \end{cases} $$
состоит из двух частей: при $$x\le 0$$ это прямая $$y=-2x$$, а при $$x>0$$ — график функции $$y=\sqrt[3]{x}$$.
Область определения:
$$ D(f)=(-\infty;+\infty). $$
Область значений:
$$ E(f)=[0;+\infty). $$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;0]$$ и убывает при $$x\in[0;+\infty)$$.
Наименьшее значение:
$$ y_{\min}=0. $$
Функция непрерывна, выпукла вверх при $$x\in[0;+\infty)$$.
г) Функция
$$ y= \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & x\le 1,\\ \dfrac{1}{x}, & x>1 \end{cases} $$
состоит из графика кубического корня при $$x\le 1$$ и гиперболы при $$x>1$$.
Область определения:
$$ D(f)=(-\infty;+\infty). $$
Область значений:
$$ E(f)=(-\infty;1]. $$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;1]$$ и убывает при $$x\in(1;+\infty)$$.
Наибольшее значение:
$$ y_{\max}=1. $$
Функция непрерывна, выпукла вверх при $$x\in(0;1)$$ и выпукла вниз при $$x\in(-\infty;0]\cup(1;+\infty)$$.
Ответ
а) $$x=8$$; б) $$x_1=0,\ x_2=1$$; в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty)$$; г) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;1]$$.
