Упр.14.19 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2019 года. Решите графически уравнение:
   а) $$\sqrt[3]{x}=10-x$$;
   б) $$\sqrt[3]{x}=|x|$$.
2. Задание учебника 2010 года. Постройте и прочитайте график функции:
   а) $$y=\begin{cases}-2x, & x<0,\\ \sqrt[3]{x}, & x>0;\end{cases}$$
   б) $$y=\begin{cases}\sqrt[3]{x}, & x\leqslant1,\\ \frac{1}{x}, & x>1.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} y=\sqrt[3]{x},\\ y=10-x. \end{cases}$$

Точка пересечения графиков удовлетворяет уравнению

$$\sqrt[3]{x}=10-x.$$

Проверим значение $$x=8$$:

$$\sqrt[3]{8}=2,\qquad 10-8=2.$$

Значит, графики пересекаются в точке $$(8;2)$$, поэтому

$$x=8.$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} y=\sqrt[3]{x},\\ y=|x|. \end{cases}$$

Найдём точки пересечения:

$$\sqrt[3]{x}=|x|.$$

Проверим подходящие значения:

$$x=0:\ \sqrt[3]{0}=0,\ |0|=0;$$

$$x=1:\ \sqrt[3]{1}=1,\ |1|=1.$$

Других точек пересечения нет, так как при $$x<0$$ левая часть отрицательна, а правая неотрицательна.

Следовательно, точки пересечения: $$(0;0)$$ и $$(1;1)$$, то есть

$$x_1=0,\quad x_2=1.$$

в) Функция

$$y= \begin{cases} -2x, & x\le 0,\\ \sqrt[3]{x}, & x>0 \end{cases}$$

состоит из двух частей: при $$x\le 0$$ это прямая $$y=-2x$$, а при $$x>0$$ — график функции $$y=\sqrt[3]{x}$$.

Область определения:

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Область значений:

$$E(f)=[0;+\infty).$$

Функция возрастает при $$x\in(-\infty;0]$$ и убывает при $$x\in[0;+\infty)$$.

Наименьшее значение:

$$y_{\min}=0.$$

Функция непрерывна, выпукла вверх при $$x\in[0;+\infty)$$.

г) Функция

$$y= \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & x\le 1,\\ \dfrac{1}{x}, & x>1 \end{cases}$$

состоит из графика кубического корня при $$x\le 1$$ и гиперболы при $$x>1$$.

Область определения:

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Область значений:

$$E(f)=(-\infty;1].$$

Функция возрастает при $$x\in(-\infty;1]$$ и убывает при $$x\in(1;+\infty)$$.

Наибольшее значение:

$$y_{\max}=1.$$

Функция непрерывна, выпукла вверх при $$x\in(0;1)$$ и выпукла вниз при $$x\in(-\infty;0]\cup(1;+\infty)$$.

Ответ

а) $$x=8$$; б) $$x_1=0,\ x_2=1$$; в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty)$$; г) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;1]$$.