Упр.14.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) [1; 8]; б) (-8; 0]; в) [-27; 64]; г) [0,125; +бесконечность).
Постройте график функции и найдите промежутки знакопостоянства:
а) (корень 3 степени x) -1;
б) корень 3 степени (x+2);
в) (корень 3 степени x) +2;
г) корень 3 степени (x-1).
Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ возрастает на всей числовой прямой, поэтому на любом промежутке наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой.
$$[1;8]$$
$$y_{\min}=\sqrt[3]{1}=1,\qquad y_{\max}=\sqrt[3]{8}=2.$$
$$(-8;0]$$
Левая граница не входит в промежуток, поэтому наименьшее значение не достигается.
$$y_{\max}=\sqrt[3]{0}=0.$$
$$[-27;64]$$
$$y_{\min}=\sqrt[3]{-27}=-3,\qquad y_{\max}=\sqrt[3]{64}=4.$$
$$[0{,}125;+\infty)$$
$$y_{\min}=\sqrt[3]{0{,}125}=\sqrt[3]{\frac18}=\frac12=0{,}5.$$
Наибольшее значение не существует, так как функция не ограничена сверху.
Для построения графиков используем сдвиги графика $$y=\sqrt[3]{x}$$.
$$y=\sqrt[3]{x}-1$$
График получается сдвигом вниз на 1. Нуль функции:
$$\sqrt[3]{x}-1=0 \Rightarrow \sqrt[3]{x}=1 \Rightarrow x=1.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(1;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;1).$$
$$y=\sqrt[3]{x+2}$$
График получается сдвигом влево на 2. Нуль функции:
$$\sqrt[3]{x+2}=0 \Rightarrow x=-2.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-2;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2).$$
$$y=\sqrt[3]{x}+2$$
График получается сдвигом вверх на 2. Нуль функции:
$$\sqrt[3]{x}+2=0 \Rightarrow \sqrt[3]{x}=-2 \Rightarrow x=-8.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-8;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-8).$$
$$y=\sqrt[3]{x-1}$$
График получается сдвигом вправо на 1. Нуль функции:
$$\sqrt[3]{x-1}=0 \Rightarrow x=1.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(1;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;1).$$
Ответ
1) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}=2$$; 2) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=0$$; 3) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=4$$; 4) $$y_{\min}=0{,}5,$$ $$y_{\max}$$ не существует.
а) $$f(x)>0$$ при $$x\in(1;+\infty),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;1).$$
б) $$f(x)>0$$ при $$x\in(-2;+\infty),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-2).$$
в) $$f(x)>0$$ при $$x\in(-8;+\infty),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-8).$$
г) $$f(x)>0$$ при $$x\in(1;+\infty),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;1).$$
