Упр.13.9 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Найдите точки пересечения графиков функций: а) $$y=x$$ и $$y=\frac{1}{x^3}$$; б) $$y=x^{-4}$$ и $$y=-2$$; в) $$y=x^{-7}$$ и $$y=-x$$; г) $$y=\frac{1}{x^2}$$ и $$y=|x|$$.

1. а) Найдём точки пересечения графиков $$y=x$$ и $$y=\frac{1}{x^3}$$.

   Приравняем значения функций:

   $$x=\frac{1}{x^3}$$

   $$x^4=1$$

   $$x=1 \text{ или } x=-1$$

   Тогда $$y=1$$ или $$y=-1$$.

   Точки пересечения: $$(1;1)$$ и $$(-1;-1)$$.

2. б) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^{-4}$$ и $$y=-2$$.

   Имеем:

   $$x^{-4}=-2$$

   Но $$x^{-4}=\frac{1}{x^4}>0$$ при всех допустимых $$x\neq 0$$, а число $$-2$$ отрицательно.

   Следовательно, пересечений нет.

3. в) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^{-7}$$ и $$y=-x$$.

   Приравняем:

   $$x^{-7}=-x$$

   $$\frac{1}{x^7}=-x$$

   $$1=-x^8$$

   Левая часть положительна, а правая не может быть равна $$1$$, так как $$-x^8\le 0$$.

   Значит, пересечений нет.

4. г) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{1}{x^2}$$ и $$y=|x|$$.

   Приравняем:

   $$\frac{1}{x^2}=|x|$$

   Так как $$x\neq 0$$, умножим на $$x^2$$:

   $$1=|x|x^2$$

   Положим $$t=|x|>0$$. Тогда $$x^2=t^2$$, и получаем:

   $$1=t^3$$

   $$t=1$$

   Значит, $$|x|=1$$, откуда $$x=1$$ или $$x=-1$$.

   Тогда $$y=1$$.

   Точки пересечения: $$(1;1)$$ и $$(-1;1)$$.

Ответ

а) $$(1;1)$$ и $$(-1;-1)$$; б) пересечений нет; в) пересечений нет; г) $$(1;1)$$ и $$(-1;1)$$.