Упр.13.8 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) на отрезке [-2;-1];
б) на луче (-бесконечность;-1/2]
в) на полуинтервале (1/2;4];
г) на луче [2; +бесконечность).

Рассмотрим функцию $$y=x^{-5}=\frac{1}{x^5}.$$

Так как показатель степени нечётный, то функция убывает на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty).$$

1. На отрезке $$[-2;-1]$$ функция убывает, значит наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:

   $$y(-2)=(-2)^{-5}=-\frac{1}{32},$$

   $$y(-1)=(-1)^{-5}=-1.$$

   Следовательно, $$y_{\max}=-\frac{1}{32}, \quad y_{\min}=-1.$$

2. На луче $$(-\infty;-\frac{1}{2}]$$ функция убывает. При $$x\to -\infty$$ значение $$y$$ стремится к $$0,$$ но не достигает его, а в точке $$x=-\frac{1}{2}$$:

   $$y\!\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)^{-5}=-32.$$

   Значит, $$y_{\min}=-32,$$ а наибольшего значения функция не имеет.

3. На полуинтервале $$(\frac{1}{2};4]$$ функция убывает. В точке $$x=4$$:

   $$y(4)=4^{-5}=\frac{1}{1024}.$$

   При $$x\to \frac{1}{2}+0$$ значение функции стремится к $$32,$$ но эта точка не входит в промежуток. Поэтому наименьшее значение достигается в правой границе:

   $$y_{\min}=\frac{1}{1024},$$

   а наибольшего значения нет.

4. На луче $$[2;+\infty)$$ функция убывает. В точке $$x=2$$:

   $$y(2)=2^{-5}=\frac{1}{32}.$$

   При $$x\to +\infty$$ значение функции стремится к $$0,$$ но не достигает его. Значит,

   $$y_{\max}=\frac{1}{32},$$

   а наименьшего значения нет.

Ответ

а) $$y_{\max}=-\frac{1}{32}, \quad y_{\min}=-1$$;

б) $$y_{\min}=-32,$$ наибольшего значения нет;

в) $$y_{\min}=\frac{1}{1024},$$ наибольшего значения нет;

г) $$y_{\max}=\frac{1}{32},$$ наименьшего значения нет.