Упр.13.7 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) на отрезке [1/2;1];
б) на луче (-бесконечность;-2]
в) на полуинтервале (-3;-1];
г) на луче [3; +бесконечность).
Рассмотрим функцию $$y=x^{-4}=\frac{1}{x^4}.$$
Она чётная, определена при $$x\neq 0,$$ и на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ убывает при увеличении $$|x|.$$
На отрезке $$\left[\frac12;1\right]$$ функция убывает, значит наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:
$$y\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{-4}=2^4=16,$$
$$y(1)=1.$$Следовательно, $$y_{\max}=16,$$ $$y_{\min}=1.$$
На луче $$(-\infty;-2]$$ функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=-2$$:
$$y(-2)=(-2)^{-4}=\frac{1}{16}.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to 0,$$ но нуля функция не достигает. Значит, наименьшего значения нет.
Следовательно, $$y_{\max}=\frac{1}{16},$$ $$y_{\min}$$ не существует.
На полуинтервале $$(-3;-1]$$ функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=-1$$:
$$y(-1)=(-1)^{-4}=1.$$
При $$x\to -3+0$$ значение функции стремится к
$$y(-3)=(-3)^{-4}=\frac{1}{81},$$
но точка $$x=-3$$ не входит в промежуток, значит наименьшего значения нет.
Следовательно, $$y_{\max}=1,$$ $$y_{\min}$$ не существует.
На луче $$[3;+\infty)$$ функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=3$$:
$$y(3)=3^{-4}=\frac{1}{81}.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to 0,$$ но нуля функция не достигает. Значит, наименьшего значения нет.
Следовательно, $$y_{\max}=\frac{1}{81},$$ $$y_{\min}$$ не существует.
Ответ
а) $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}=16$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\frac{1}{16}$$; в) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\frac{1}{81}$$.
