Упр.13.6 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Постройте график функции у = х^-2 — 1. Найдите область значений функции. Составьте уравнения горизон тальной и вертикальной асимптот. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 13-6 95
Преобразуем функцию:
$$y=x^{-2}-1=\frac{1}{x^2}-1.$$
Это график гиперболы, сдвинутый вниз на 1.
Для построения возьмём несколько значений:
| $$x$$ | $$0$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$-0{,}5$$ | $$-1$$ | $$-3$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | не определено | $$3$$ | $$0$$ | $$-0{,}75$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$-0{,}9$$ |
Так как в знаменателе стоит $$x^2$$, то $$x \ne 0$$. Значит, область определения:
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
При $$x \ne 0$$ имеем $$\frac{1}{x^2}>0$$, поэтому
$$y=\frac{1}{x^2}-1>-1.$$
Следовательно, область значений:
$$E(f)=(-1;+\infty).$$
При $$x \to \pm\infty$$ значение $$\frac{1}{x^2}\to 0$$, значит, $$y\to -1$$. Поэтому горизонтальная асимптота:
$$y=-1.$$
При $$x \to 0$$ значение $$\frac{1}{x^2}\to +\infty$$, значит, вертикальная асимптота:
$$x=0.$$
Ответ
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \qquad E(f)=(-1;+\infty).$$
Горизонтальная асимптота: $$y=-1$$. Вертикальная асимптота: $$x=0$$.
