Упр.13.5 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=(x-2)^{-2}$$. Найдите промежутки убывания и возрастания функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот.

Функция

$$y=(x-2)^{-2}=\frac{1}{(x-2)^2}.$$

Область определения: $$x\ne 2.$$

Так как $$\frac{1}{(x-2)^2}>0$$ при всех $$x\ne 2,$$ график расположен выше оси $$Ox$$ и имеет две ветви.

Найдём характер изменения функции. При $$x<2$$ при увеличении $$x$$ знаменатель $$(x-2)^2$$ уменьшается, поэтому значение функции возрастает. При $$x>2$$ при увеличении $$x$$ знаменатель возрастает, значит функция убывает.

Следовательно, функция:

• возрастает на $$(-\infty;2);$$
• убывает на $$(2;+\infty).$$

Вертикальная асимптота получается из условия обращения знаменателя в ноль:

$$x=2.$$

При $$x\to \pm\infty$$ значение $$\frac{1}{(x-2)^2}\to 0,$$ значит горизонтальная асимптота:

$$y=0.$$

Для построения можно отметить несколько точек:

$$x=-1,\ y=\frac{1}{9};\quad x=0,\ y=\frac14;\quad x=1,\ y=1;\quad x=1{,}5,\ y=4;$$

$$x=2{,}5,\ y=4;\quad x=3,\ y=1;\quad x=4,\ y=\frac14.$$

По этим точкам строится график гиперболы с асимптотами $$x=2$$ и $$y=0.$$

Ответ

График — гипербола $$y=\frac{1}{(x-2)^2}.$$ Функция возрастает на $$(-\infty;2),$$ убывает на $$(2;+\infty).$$ Горизонтальная асимптота: $$y=0.$$ Вертикальная асимптота: $$x=2.$$