Упр.13.13 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

$$y=\begin{cases}|x|, & x\leq 0,\\ x^{-3}, & x>0.\end{cases}$$

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} |x|, & x\le 1,\\ x^{-3}, & x>1. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x\le 1$$ имеем график модуля $$y=|x|$$. Он проходит через точки $$(-1;1)$$, $$(0;0)$$, $$(1;1)$$.

2) При $$x>1$$ строим график функции $$y=x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}$$. Для него удобно взять точки:

$$x=1,\ y=1;\qquad x=1{,}5,\ y\approx 0{,}3;\qquad x=2,\ y=\frac18.$$

Соединяем части в одной системе координат: слева и до точки $$x=1$$ — график модуля, справа от $$x=1$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{1}{x^3}$$.

Из графика получаем:

область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
область значений: $$E(f)=[0;+\infty)$$;
функция убывает при $$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty)$$;
функция возрастает при $$x\in[0;1]$$;
функция ограничена снизу: $$y_{\min}=0$$;
функция непрерывна;
функция выпукла вниз при $$x\in[1;+\infty)$$.

Ответ

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty),$$
$$f \text{ убывает на } (-\infty;0)\cup[1;+\infty),\quad f \text{ возрастает на } [0;1].$$
Функция ограничена снизу, непрерывна, выпукла вниз при $$x\in[1;+\infty)$$.