Упр.13.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) область определения и область значений функции;
б) промежутки монотонности и промежутки знакопо стоянства функции;
в) уравнения асимптот;
г) уравнение оси симметрии графика функции.

Рассмотрим функцию

$$y=(x-1)^{-2}-2=\frac{1}{(x-1)^2}-2.$$

а) Область определения и область значений.

Знаменатель не должен обращаться в нуль, значит

$$x-1\ne 0,\quad x\ne 1.$$

Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

Так как $$\frac{1}{(x-1)^2}>0$$ при всех допустимых $$x$$, то

$$y=\frac{1}{(x-1)^2}-2>-2.$$

Значение $$y=-2$$ не достигается, поэтому

$$E(y)=(-2;+\infty).$$

б) Промежутки монотонности и знакопостоянства.

При $$x<1$$ при увеличении $$x$$ значение $$\frac{1}{(x-1)^2}$$ возрастает, значит функция возрастает на промежутке $$(-\infty;1)$$.

При $$x>1$$ при увеличении $$x$$ значение $$\frac{1}{(x-1)^2}$$ убывает, значит функция убывает на промежутке $$(1;+\infty).$$

Найдём, где функция положительна и где отрицательна:

$$\frac{1}{(x-1)^2}-2>0$$

$$\frac{1-2(x-1)^2}{(x-1)^2}>0$$

$$1-2(x-1)^2>0$$

$$2(x-1)^2<1$$

$$|x-1|<\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$1-\frac{\sqrt2}{2}<x<1+\frac{\sqrt2}{2}.$$

С учётом области определения получаем:

$$y>0 \text{ на } \left(1-\frac{\sqrt2}{2};1\right)\cup\left(1;1+\frac{\sqrt2}{2}\right),$$

$$y<0 \text{ на } \left(-\infty;1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(1+\frac{\sqrt2}{2};+\infty\right).$$

в) Уравнения асимптот.

При $$x\to 1$$ знаменатель $$ (x-1)^2\to 0,$$ поэтому

$$x=1$$ — вертикальная асимптота.

При $$x\to \pm\infty$$ имеем

$$\frac{1}{(x-1)^2}\to 0,$$

значит

$$y\to -2.$$

Следовательно, $$y=-2$$ — горизонтальная асимптота.

г) Уравнение оси симметрии графика функции.

График функции симметричен относительно прямой

$$x=1.$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\quad E(y)=(-2;+\infty).$$

б) Возрастает на $$(-\infty;1)$$, убывает на $$(1;+\infty)$$; $$y>0$$ на $$\left(1-\frac{\sqrt2}{2};1\right)\cup\left(1;1+\frac{\sqrt2}{2}\right),$$ $$y<0$$ на $$\left(-\infty;1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(1+\frac{\sqrt2}{2};+\infty\right).$$

в) $$x=1,$$ $$y=-2.$$

г) $$x=1.$$