Упр.13.19 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) область определения и область значений функции;
б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции;
в) уравнения асимптот;
г) координаты центра симметрии графика функции.

$$y=(x+2)^{-3}-1=\frac{1}{(x+2)^3}-1.$$

а) Область определения и область значений.

Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$x+2\ne 0,\quad x\ne -2.$$

Значит,

$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$

Так как $$\frac{1}{(x+2)^3}\ne 0,$$ то $$y\ne -1.$$ Следовательно,

$$E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

б) Промежутки монотонности и знакопостоянства.

Функция $$\frac{1}{x^3}$$ убывает на каждом из промежутков своей области определения, поэтому и функция

$$y=\frac{1}{(x+2)^3}-1$$

убывает на промежутках $$(-\infty;-2)$$ и $$(-2;+\infty).$$

Найдём, где функция положительна и где отрицательна:

$$\frac{1}{(x+2)^3}-1>0 \iff \frac{1-(x+2)^3}{(x+2)^3}>0.$$

Решая неравенство, получаем:

$$-2<x<-1.$$

Значит,

$$y>0 \text{ при } x\in(-2;-1),$$

$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(-1;+\infty).$$

в) Уравнения асимптот.

При $$x\to\pm\infty$$ имеем $$\frac{1}{(x+2)^3}\to 0,$$ значит,

$$y=-1$$

— горизонтальная асимптота.

При $$x=-2$$ функция не определена, поэтому

$$x=-2$$

— вертикальная асимптота.

г) Координаты центра симметрии графика.

Центр симметрии — точка пересечения асимптот:

$$O(-2;-1).$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

б) Функция убывает на $$(-\infty;-2)$$ и $$(-2;+\infty)$$; $$y>0$$ при $$x\in(-2;-1),$$ $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;+\infty).$$

в) $$x=-2,\ y=-1.$$

г) $$O(-2;-1).$$