Упр.13.14 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

$$y=\begin{cases}-2(x+1)^2+2, & \text{если } -2\le x\le 0;\\x^{-12}, & \text{если } x>0.\end{cases}$$

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y= \begin{cases} -2(x+1)^2+2, & -2\le x\le 0,\\ x^{-1}, & x>0. \end{cases}$$

На отрезке $$[-2;0]$$ задана парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке $$(-1;2)$$, а на концах отрезка:

$$y(-2)=-2(-2+1)^2+2=0,\qquad y(0)=-2(0+1)^2+2=0.$$

Значит, на $$[-2;0]$$ функция принимает значения от $$0$$ до $$2$$, возрастая на $$[-2;-1]$$ и убывая на $$[-1;0]$$.

На промежутке $$x>0$$ имеем $$y=x^{-1}=\dfrac{1}{x}$$ — гиперболу. При $$x>0$$ эта функция положительна, убывает и стремится к нулю при $$x\to +\infty$$.

Объединяя оба участка, получаем:

область определения: $$D(f)=[-2;+\infty)$$;
область значений: $$E(f)=[0;+\infty)$$;
функция возрастает при $$x\in[-2;-1]$$;
функция убывает при $$x\in[-1;0]$$ и $$x\in(0;+\infty)$$;
функция ограничена снизу: $$y_{\min}=0$$;
функция непрерывна на промежутках $$[-2;0]$$ и $$(0;+\infty)$$;
функция выпукла вверх при $$x\in[-2;0]$$;
функция выпукла вниз при $$x\in(0;+\infty)$$.

Ответ

$$D(f)=[-2;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty),$$
$$f \text{ возрастает на } [-2;-1],\ \text{убывает на } [-1;0]\cup(0;+\infty),$$
$$y_{\min}=0,\ \text{непрерывна на } [-2;0]\text{ и }(0;+\infty),$$
$$\text{выпукла вверх на } [-2;0],\ \text{выпукла вниз на } (0;+\infty).$$