Упр.13.14 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

-2(x+1)2+2, если -2<=x<=0; x^-12,если x>0.

Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} -2(x+1)^2+2, & -2\le x\le 0,\\ x^{-1}, & x>0. \end{cases} $$

На отрезке $$[-2;0]$$ задана парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке $$(-1;2)$$, а на концах отрезка:

$$ y(-2)=-2(-2+1)^2+2=0,\qquad y(0)=-2(0+1)^2+2=0. $$

Значит, на $$[-2;0]$$ функция принимает значения от $$0$$ до $$2$$, возрастая на $$[-2;-1]$$ и убывая на $$[-1;0]$$.

На промежутке $$x>0$$ имеем $$y=x^{-1}=\dfrac{1}{x}$$ — гиперболу. При $$x>0$$ эта функция положительна, убывает и стремится к нулю при $$x\to +\infty$$.

Объединяя оба участка, получаем:

• область определения: $$D(f)=[-2;+\infty)$$;
• область значений: $$E(f)=[0;+\infty)$$;
• функция возрастает при $$x\in[-2;-1]$$;
• функция убывает при $$x\in[-1;0]$$ и $$x\in(0;+\infty)$$;
• функция ограничена снизу: $$y_{\min}=0$$;
• функция непрерывна на промежутках $$[-2;0]$$ и $$ (0;+\infty)$$;
• функция выпукла вверх при $$x\in[-2;0]$$;
• функция выпукла вниз при $$x\in(0;+\infty)$$.

Ответ

$$ D(f)=[-2;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty), $$
$$ f \text{ возрастает на } [-2;-1],\ \text{убывает на } [-1;0]\cup(0;+\infty), $$
$$ y_{\min}=0,\ \text{непрерывна на } [-2;0]\text{ и }(0;+\infty), $$
$$ \text{выпукла вверх на } [-2;0],\ \text{выпукла вниз на } (0;+\infty). $$