Упр.13.12 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции:

$$y=\begin{cases}x^{-2},& x<0;\\2x^2,& x\geq 0.\end{cases}$$

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} x^{-2}, & x<0,\\ 2x^2, & x\ge 0. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x<0$$ имеем $$y=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$$ — это ветвь гиперболы. Для построения возьмём несколько точек:

$$\begin{array}{c|cccc} x & -2 & -1 & -0{,}5 & -0{,}4 \\ \hline y & \dfrac14 & 1 & 4 & 6{,}25 \end{array}$$

2) При $$x\ge 0$$ имеем $$y=2x^2$$ — парабола, ветви направлены вверх. Возьмём точки:

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 2 & 8 \end{array}$$

Строим на одной координатной плоскости левую ветвь графика $$y=\dfrac{1}{x^2}$$ при $$x<0$$ и правую часть параболы $$y=2x^2$$ при $$x\ge 0$$.

Теперь прочитаем свойства функции:

• область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• область значений: $$E(f)=[0;+\infty)$$;
• функция возрастает при $$x\in(-\infty;0)$$;
• функция убывает при $$x\in(0;+\infty)$$;
• функция ограничена снизу: $$y_{\min}=0$$;
• функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$[0;+\infty)$$;
• функция выпукла вниз при $$x\in(-\infty;0)$$ и $$x\in(0;+\infty)$$.

Ответ

График состоит из ветви гиперболы $$y=\dfrac{1}{x^2}$$ при $$x<0$$ и части параболы $$y=2x^2$$ при $$x\ge 0$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty).$$