Упр.12.40 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) 2x^3+1=3/x; б) (x+1)^5+2x+5=0.

1. Рассмотрим уравнение $$2x^3+1=\frac{3}{x}, \quad x\ne 0.$$

   Перепишем его в виде равенства двух функций:

   $$f(x)=2x^3+1, \qquad g(x)=\frac{3}{x}.$$

   Функция $$f(x)=2x^3+1$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, а функция $$g(x)=\frac{3}{x}$$ убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty).$$

   Значит, на каждом из этих промежутков уравнение может иметь не более одного корня.

   Проверим число $$x=1$$:

   $$2\cdot 1^3+1=3, \qquad \frac{3}{1}=3.$$

   Следовательно, $$x=1$$ — корень уравнения. Так как корень может быть только один, то он единственный.

2. Рассмотрим уравнение $$\left(x+1\right)^5+2x+5=0.$$

   Перепишем его так:

   $$\left(x+1\right)^5=-(2x+5).$$

   Введём функции:

   $$f(x)=\left(x+1\right)^5, \qquad g(x)=-(2x+5).$$

   Функция $$f(x)=\left(x+1\right)^5$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, а функция $$g(x)=-(2x+5)$$ убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

   Значит, уравнение имеет не более одного корня.

   Проверим число $$x=-2$$:

   $$\left(-2+1\right)^5+2\cdot(-2)+5=(-1)^5-4+5=-1-4+5=0.$$

   Следовательно, $$x=-2$$ — корень уравнения. Он единственный.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=-2$$.