Упр.12.37 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=-x^4$$. Докажите, что $$f(4x)\cdot f\left(-\frac{x}{4}\right)=(f(x))^2$$.
2. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=-x^3$$. Докажите, что $$(f(x))^9:f\left(-\frac{x^4}{2}\right)=f(2x^5)$$.

1) Пусть $$f(x)=-x^4.$$ Тогда

$$f(4x)\cdot f\left(-\frac{x}{4}\right) =-(4x)^4\cdot -\left(-\frac{x}{4}\right)^4 =(4x)^4\left(\frac{x}{4}\right)^4 =x^8.$$

С другой стороны,

$$(f(x))^2=\left(-x^4\right)^2=x^8.$$

Значит,

$$f(4x)\cdot f\left(-\frac{x}{4}\right)=(f(x))^2.$$

2) Пусть $$f(x)=-x^3.$$ Тогда

$$\frac{(f(x))^9}{f\left(-\frac12 x^4\right)} = \frac{(-x^3)^9}{-\left(-\frac12 x^4\right)^3} = \frac{-x^{27}}{-\left(-\frac18 x^{12}\right)} = \frac{-x^{27}}{\frac18 x^{12}} =-8x^{15}.$$

Теперь найдём правую часть:

$$f(2x^5)=-(2x^5)^3=-8x^{15}.$$

Следовательно,

$$\frac{(f(x))^9}{f\left(-\frac12 x^4\right)}=f(2x^5).$$

Ответ

$$f(4x)\cdot f\left(-\frac{x}{4}\right)=(f(x))^2,\qquad \frac{(f(x))^9}{f\left(-\frac12 x^4\right)}=f(2x^5).$$