Упр.12.36 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Дана функция у =f(x), где f(x) =x7. Докажите, что f(2x) *f(x/2)=(f(x))2. Дана функция у =f(x), где f(x) =x10. Докажите, что f(x2) *f(x^-1)=f(x).

1) Пусть $$f(x)=x^7.$$ Тогда

$$ f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(2x)^7\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^7 =\left(2x\cdot \frac{x}{2}\right)^7 =(x^2)^7=x^{14}. $$

С другой стороны,

$$ (f(x))^2=(x^7)^2=x^{14}. $$

Следовательно,

$$ f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2. $$

2) Пусть $$f(x)=x^{10}.$$ Тогда

$$ f(x^2)\cdot f(x^{-1})=(x^2)^{10}\cdot (x^{-1})^{10} =(x^2\cdot x^{-1})^{10} =(x)^{10}=x^{10}. $$

А так как

$$ f(x)=x^{10}, $$

то получаем

$$ f(x^2)\cdot f(x^{-1})=f(x). $$

Ответ

$$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2,\qquad f(x^2)\cdot f(x^{-1})=f(x).$$