Упр.12.36 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=x^7$$. Докажите, что $$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2$$.
2. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=x^{10}$$. Докажите, что $$f(x^2)\cdot f(x^{-1})=f(x)$$.

1) Пусть $$f(x)=x^7.$$ Тогда

$$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(2x)^7\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^7 =\left(2x\cdot \frac{x}{2}\right)^7 =(x^2)^7=x^{14}.$$

С другой стороны,

$$(f(x))^2=(x^7)^2=x^{14}.$$

Следовательно,

$$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2.$$

2) Пусть $$f(x)=x^{10}.$$ Тогда

$$f(x^2)\cdot f(x^{-1})=(x^2)^{10}\cdot (x^{-1})^{10} =(x^2\cdot x^{-1})^{10} =(x)^{10}=x^{10}.$$

А так как

$$f(x)=x^{10},$$

то получаем

$$f(x^2)\cdot f(x^{-1})=f(x).$$

Ответ

$$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2,\qquad f(x^2)\cdot f(x^{-1})=f(x).$$