Упр.12.34 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Дана функция у =f(x), где f(x) =x7. Докажите, что f(2x) *f(x/2)=(f(x))2.

а) Рассмотрим функцию $$y=(|x|-2)^3.$$

Проверим чётность:

$$ y(-x)=(|-x|-2)^3=(|x|-2)^3=y(x). $$

Значит, функция чётная.

Для построения графика удобно взять несколько значений:

График симметричен относительно оси $$Oy$$.

б) Рассмотрим функцию $$y=-(|x|+1)^3.$$

Проверим чётность:

$$ y(-x)=-(-|x|+1)^3=-(|x|+1)^3=y(x). $$

Значит, функция чётная.

Для построения графика возьмём несколько точек:

График также симметричен относительно оси $$Oy$$.

Доказательство: пусть $$f(x)=x^7$$. Тогда

$$ f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(2x)^7\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^7 =\left(2x\cdot \frac{x}{2}\right)^7 =(x^2)^7=x^{14}. $$

$$ (f(x))^2=(x^7)^2=x^{14}. $$

Следовательно,

$$ f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2, $$

что и требовалось доказать.

Ответ

а) и б) функции чётные; $$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2.$$