Упр.12.34 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- а) $$y=(|x|-2)^3$$; б) $$=-(|x|+1)^3$$.
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=x^7$$. Докажите, что $$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=(|x|-2)^3.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=(|-x|-2)^3=(|x|-2)^3=y(x).$$
Значит, функция чётная.
Для построения графика удобно взять несколько значений:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-8$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$8$$ |
График симметричен относительно оси $$Oy$$.
б) Рассмотрим функцию $$y=-(|x|+1)^3.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=-(-|x|+1)^3=-(|x|+1)^3=y(x).$$
Значит, функция чётная.
Для построения графика возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1{,}2$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-1$$ | $$-8$$ | $$-10{,}5$$ |
График также симметричен относительно оси $$Oy$$.
Доказательство: пусть $$f(x)=x^7$$. Тогда
$$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(2x)^7\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^7 =\left(2x\cdot \frac{x}{2}\right)^7 =(x^2)^7=x^{14}.$$
$$(f(x))^2=(x^7)^2=x^{14}.$$
Следовательно,
$$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2,$$
что и требовалось доказать.
Ответ
а) и б) функции чётные; $$f(2x)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)=(f(x))^2.$$
