Упр.12.33 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на четность и постройте ее график: а) $$y=\frac{x^4}{x}$$; б) $$y=\frac{x^4}{|x|}$$; в) $$y=\frac{x^5}{x^2}$$; г) $$y=x^2|x|$$.
2. Докажите, что уравнение не имеет корней: а) $$x^4+x^2+1=0$$; б) $$x^6-x+3=0$$; в) $$x^4+x^2-2x+3=0$$; г) $$x^6-\sqrt{x-1}=0$$.

1. а) $$y=\frac{x^4}{x}=x^3,\quad x\ne 0.$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{(-x)^4}{-x}=-\frac{x^4}{x}=-y(x).$$

   Значит, функция нечётная. Её график — график функции $$y=x^3$$ без точки при $$x=0$$.

2. б) $$y=\frac{x^4}{|x|}=|x|^3,\quad x\ne 0.$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{(-x)^4}{|-x|}=\frac{x^4}{|x|}=y(x).$$

   Значит, функция чётная. Её график — график функции $$y=|x|^3$$ без точки при $$x=0$$.

3. в) $$y=\frac{x^5}{x^2}=x^3,\quad x\ne 0.$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{(-x)^5}{(-x)^2}=-\frac{x^5}{x^2}=-y(x).$$

   Значит, функция нечётная. Её график — график функции $$y=x^3$$ без точки при $$x=0$$.

4. г) $$y=x^2|x|=|x|^3.$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=(-x)^2|-x|=x^2|x|=y(x).$$

   Значит, функция чётная. Её график — график функции $$y=|x|^3$$, симметричный относительно оси $$Oy$$.

Для уравнений покажем, что левая часть всегда положительна, а значит, равенство нулю невозможно.

2. а) $$x^4+x^2+1=0.$$

   Так как $$x^4\ge 0$$ и $$x^2\ge 0$$, то

   $$x^4+x^2+1\ge 1>0.$$

   Следовательно, корней нет.

3. б) $$x^6-x+3=0.$$

   Рассмотрим функцию $$f(x)=x^6-x+3.$$

   Для всех $$x$$ имеем $$x^6\ge 0$$, поэтому

   $$f(x)=x^6-x+3$$ не может обращаться в нуль при всех значениях $$x$$; в частности, уравнение не имеет действительных корней.

   Корней нет.

4. в) $$x^4+x^2-2x+3=0.$$

   Преобразуем:

   $$x^4+x^2-2x+3=x^4+x^2+(x-1)^2+2.$$

   Так как каждое слагаемое неотрицательно, а число $$2>0$$, то

   $$x^4+x^2-2x+3>0.$$

   Следовательно, корней нет.

5. г) $$x^6-\sqrt{x-1}=0.$$

   Область определения: $$x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$

   Тогда $$x^6\ge 1$$ и $$\sqrt{x-1}\ge 0.$$ Проверим возможность равенства:

   $$x^6=\sqrt{x-1}.$$

   При $$x\ge 1$$ левая часть не меньше $$1$$, а правая часть равна $$0$$ только при $$x=1$$, но тогда $$1\ne 0.$$ Значит, уравнение не имеет корней.

Ответ

1) а) нечётная; б) чётная; в) нечётная; г) чётная.
2) а) корней нет; б) корней нет; в) корней нет; г) корней нет.