Упр.12.33 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) y=x4/x;
б) y=x4/|x|;
в) y=x5/x2;
г) y=x2|x|.
Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) х4 + х2 + 1 = 0;
б) х6 — х + 3 = 0;
в) х4 + х2 — 2х + 3 = 0;
г) x6- корень (x-1)=0.

Подробный ответ

а) $$y=\frac{x^4}{x}=x^3,\quad x\ne 0.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=\frac{(-x)^4}{-x}=-\frac{x^4}{x}=-y(x).$$
Значит, функция нечётная. Её график — график функции $$y=x^3$$ без точки при $$x=0$$.
б) $$y=\frac{x^4}{|x|}=|x|^3,\quad x\ne 0.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=\frac{(-x)^4}{|-x|}=\frac{x^4}{|x|}=y(x).$$
Значит, функция чётная. Её график — график функции $$y=|x|^3$$ без точки при $$x=0$$.
в) $$y=\frac{x^5}{x^2}=x^3,\quad x\ne 0.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=\frac{(-x)^5}{(-x)^2}=-\frac{x^5}{x^2}=-y(x).$$
Значит, функция нечётная. Её график — график функции $$y=x^3$$ без точки при $$x=0$$.
г) $$y=x^2|x|=|x|^3.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=(-x)^2|-x|=x^2|x|=y(x).$$
Значит, функция чётная. Её график — график функции $$y=|x|^3$$, симметричный относительно оси $$Oy$$.

Для уравнений покажем, что левая часть всегда положительна, а значит, равенство нулю невозможно.

а) $$x^4+x^2+1=0.$$
Так как $$x^4\ge 0$$ и $$x^2\ge 0$$, то
$$x^4+x^2+1\ge 1>0.$$
Следовательно, корней нет.
б) $$x^6-x+3=0.$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^6-x+3.$$
Для всех $$x$$ имеем $$x^6\ge 0$$, поэтому
$$f(x)=x^6-x+3$$ не может обращаться в нуль при всех значениях $$x$$; в частности, уравнение не имеет действительных корней.
Корней нет.
в) $$x^4+x^2-2x+3=0.$$
Преобразуем:
$$x^4+x^2-2x+3=x^4+x^2+(x-1)^2+2.$$
Так как каждое слагаемое неотрицательно, а число $$2>0$$, то
$$x^4+x^2-2x+3>0.$$
Следовательно, корней нет.
г) $$x^6-\sqrt{x-1}=0.$$
Область определения: $$x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$
Тогда $$x^6\ge 1$$ и $$\sqrt{x-1}\ge 0.$$ Проверим возможность равенства:
$$x^6=\sqrt{x-1}.$$
При $$x\ge 1$$ левая часть не меньше $$1$$, а правая часть равна $$0$$ только при $$x=1$$, но тогда $$1\ne 0.$$ Значит, уравнение не имеет корней.