Упр.12.25 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите графически неравенство:
а) x4<= корень x; б) x5<5-4x; в) x3>=|x|-2;
г) -x4< (корень x) + 1.

Подробный ответ

Функция $$y=x^{361}$$ — нечётная и возрастающая на всей числовой прямой. На луче $$(-\infty;0]$$ наибольшее значение достигается в точке $$x=0$$:
$$K=f(0)=0.$$
Функция $$y=x^{1002}$$ — чётная, при этом на отрезке $$[-5;5]$$ наименьшее значение достигается в точке $$x=0$$:
$$L=f(0)=0.$$
Следовательно, $$K=L.$$
а) Рассмотрим неравенство $$x^4\le \sqrt{x}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Точки пересечения графиков функций $$y=x^4$$ и $$y=\sqrt{x}$$ находятся из уравнения
$$x^4=\sqrt{x}.$$
При $$x\ge 0$$ получаем точки пересечения $$x=0$$ и $$x=1$$. На промежутке между ними график $$y=x^4$$ расположен не выше графика $$y=\sqrt{x}$$, значит
$$0\le x\le 1.$$
б) Рассмотрим неравенство $$x^5<5-4x.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^5+4x-5<0.$$
Графики функций $$y=x^5$$ и $$y=5-4x$$ пересекаются при $$x=1$$, так как
$$1^5=5-4\cdot 1=1.$$
До точки пересечения график $$y=x^5$$ расположен ниже графика $$y=5-4x$$, поэтому
$$x<1.$$
в) Рассмотрим неравенство $$x^3\ge |x|-2.$$
Проверим точки пересечения графиков $$y=x^3$$ и $$y=|x|-2$$:
при $$x=1$$ имеем $$1^3=|1|-2=-1$$ — не подходит;
при $$x=-1$$ имеем $$(-1)^3=|-1|-2=-1$$ — подходит.
Графически видно, что при $$x\ge -1$$ график $$y=x^3$$ не ниже графика $$y=|x|-2$$, значит
$$x\ge -1.$$
г) Рассмотрим неравенство $$-x^4<\sqrt{x}+1.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Так как $$x^4\ge 0$$, то $$-x^4\le 0$$, а при $$x\ge 0$$ правая часть $$\sqrt{x}+1>0.$$ Следовательно, неравенство выполняется при всех допустимых $$x$$:
$$x\ge 0.$$