Упр.12.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) (-1; 1); б) (-1; -1); в) (1; 1); г) (1; -1).
Пусть К — наибольшее значение функции у = x361 на луче (—бесконечность; 0]. a L — наименьшее значение функции у = х1002 на отрезке [-5; 5]. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, что больше: К или L.
Рассмотрим функцию $$y=x^n$$.
а) Точка $$(-1;1)$$
Подставим координаты точки в уравнение функции:
$$1=(-1)^n.$$
Это возможно, если $$n$$ — чётное число. Тогда
$$y(-x)=(-x)^n=x^n=y(x),$$
значит, функция чётная. Кроме того, при чётном $$n$$
$$y=x^n\ge 0,$$
то есть функция ограничена снизу.
б) Точка $$(-1;-1)$$
Подставим координаты точки:
$$-1=(-1)^n.$$
Это возможно, если $$n$$ — нечётное число. Тогда
$$y(-x)=(-x)^n=-x^n=-y(x),$$
значит, функция нечётная. При нечётном $$n$$ функция не ограничена.
в) Точка $$ (1;1) $$
Подставим координаты точки:
$$1=1^n.$$
Это верно при любом натуральном $$n$$. Поэтому функция может быть как чётной, так и нечётной — в зависимости от значения $$n$$.
Если $$n$$ чётное, то функция ограничена снизу: $$y\ge 0$$.
Если $$n$$ нечётное, то функция не ограничена.
г) Точка $$ (1;-1) $$
Подставим координаты точки:
$$-1=1^n.$$
Это невозможно, так как $$1^n=1$$ при любом натуральном $$n$$. Значит, такой функции не существует.
Теперь сравним $$K$$ и $$L$$.
Функция $$y=x^{361}$$ — нечётная и возрастает на всей числовой прямой. На луче $$(-\infty;0]$$ наибольшее значение достигается при $$x=0$$:
$$K=f(0)=0.$$
Функция $$y=x^{1002}$$ — чётная, и на отрезке $$[-5;5]$$ наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$L=f(0)=0.$$
Следовательно, $$K=L$$.
Ответ
а) функция чётная, ограничена снизу; б) функция нечётная, не ограничена; в) функция может быть чётной или нечётной; г) такой функции не существует; $$K=L$$.
