Упр.12.21 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) y=система
x4, x<0;
корень x>=0;
б) y=система
корень -x, если x<0;
x5, если x>=0;
в) y=система
x6,если x<=1
1/x, если x>1;
г) y=система
x7, если x<-1;
-2-x, если -1<=x<=2. Исследуйте степенную функцию у = хn на четность и ограниченность, если известно, что ее график проходит через заданную точку:
а) (-1; 1); б) (-1; -1); в) (1; 1); г) (1; -1).
а) $$y=\begin{cases}x^4, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0.\end{cases}$$
Для левой части берём точки: $$(-2;16),\ (-1;1),\ (0;0).$$
Для правой части берём точки: $$ (0;0),\ (1;1),\ (4;2),\ (9;3).$$
График состоит из ветви функции $$y=x^4$$ при $$x<0$$ и ветви функции $$y=\sqrt{x}$$ при $$x\ge 0$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty).$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;0]$$ и возрастает при $$x\in[0;+\infty).$$
Функция ограничена снизу, непрерывна; выпукла вниз при $$x\in(-\infty;0]$$ и выпукла вверх при $$x\in[0;+\infty).$$
б) $$y=\begin{cases}\sqrt{-x}, & x<0,\\ x^5, & x\ge 0.\end{cases}$$
Для левой части берём точки: $$(-1;1),\ (-4;2),\ (-9;3).$$
Для правой части берём точки: $$ (0;0),\ (1;1),\ (1{,}5;7{,}6).$$
График состоит из ветви функции $$y=\sqrt{-x}$$ при $$x<0$$ и ветви функции $$y=x^5$$ при $$x\ge 0$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty).$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;0]$$ и возрастает при $$x\in[0;+\infty).$$
Функция ограничена снизу, непрерывна; выпукла вниз при $$x\in[0;+\infty)$$ и выпукла вверх при $$x\in(-\infty;0].$$
в) $$y=\begin{cases}x^6, & x\le 1,\\ \dfrac{1}{x}, & x>1.\end{cases}$$
Для первой части берём точки: $$ (0;0),\ (1;1),\ (-1;1),\ (-1{,}5;11{,}4).$$
Для второй части берём точки: $$ (1;1),\ (2;0{,}5),\ (3;0{,}33),\ (4;0{,}25).$$
График состоит из ветви функции $$y=x^6$$ при $$x\le 1$$ и ветви гиперболы $$y=\dfrac{1}{x}$$ при $$x>1$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty).$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;1]\cup[1;+\infty)$$, то есть на всей области определения, кроме точки разрыва в записи кусочной функции.
Функция ограничена снизу, непрерывна; выпукла вниз при $$x\in(-\infty;1]$$ и при $$x\in[1;+\infty).$$
г) $$y=\begin{cases}x^7, & x<-1,\\ -2-x, & -1\le x\le 2.\end{cases}$$
Для первой части берём точки: $$(-1;-1),\ (-1{,}4;-10{,}5),\ (-1{,}2;-3{,}6).$$
Для второй части берём точки: $$(-1;-1),\ (2;-4).$$
График состоит из ветви функции $$y=x^7$$ при $$x<-1$$ и отрезка прямой $$y=-2-x$$ при $$-1\le x\le 2$$.
$$D(f)=(-\infty;2],\quad E(f)=(-\infty;-1].$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;2]$$.
Функция ограничена сверху, непрерывна; выпукла вверх при $$x\in(-\infty;-1].$$
Для функции $$y=x^n$$ по точке, через которую проходит график:
а) если график проходит через $$(-1;1)$$, то $$1=(-1)^n$$, значит $$n$$ — чётное; функция чётная и ограничена снизу.
б) если график проходит через $$(-1;-1)$$, то $$-1=(-1)^n$$, значит $$n$$ — нечётное; функция нечётная и не ограничена.
в) если график проходит через $$ (1;1)$$, то $$1=1^n$$, значит $$n$$ может быть любым натуральным; функция может быть как чётной, так и нечётной, может быть ограниченной снизу или неограниченной.
г) если график проходит через $$ (1;-1)$$, то $$-1=1^n$$ невозможно, значит такой функции не существует.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
г) $$D(f)=(-\infty;2],\ E(f)=(-\infty;-1],$$ функция убывает на $$(-\infty;2].$$
Для $$y=x^n$$: а) $$n$$ чётное; б) $$n$$ нечётное; в) $$n$$ любое натуральное; г) функции не существует.
