Упр.12.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

y=x4,
y=4-x2;
б) система
y=x5,
y=-2+0,5×2;
в) система
y=x6,
y=-2-3×2;
г) система
y=x3,
y=x2-6. Чему равно n, если известно, что график степенной функции у = хn проходит через заданную точку:
а) (2; 256);
б) (-2; -128);
в) (3; 243);
г) (-4; 256)?

Подробный ответ

а) Для системы
$$ \begin{cases} y=x^4,\\ y=4-x^2 \end{cases} $$
найдём точки пересечения:
$$ x^4=4-x^2 $$
$$ x^4+x^2-4=0 $$
Обозначим $$t=x^2$$, тогда
$$ t^2+t-4=0 $$
Это уравнение имеет один положительный корень, значит система имеет две точки пересечения, соответствующие $$x=\pm\sqrt{t}$$.
Ответ: 2 решения.
б) Для системы
$$ \begin{cases} y=x^5,\\ y=-2+0{,}5x^2 \end{cases} $$
приравняем правые части:
$$ x^5=-2+0{,}5x^2 $$
Графики пересекаются в одной точке.
Ответ: 1 решение.
в) Для системы
$$ \begin{cases} y=x^6,\\ y=-2-3x^2 \end{cases} $$
первая функция принимает только неотрицательные значения, а вторая — только отрицательные. Значит, пересечений нет.
Ответ: 0 решений.
г) Для системы
$$ \begin{cases} y=x^3,\\ y=x^2-6 \end{cases} $$
приравняем:
$$ x^3=x^2-6 $$
$$ x^3-x^2+6=0 $$
Проверкой находим корень $$x=-2$$:
$$ (-2)^3-(-2)^2+6=-8-4+6=-6\neq 0 $$
Значит, нужно искать пересечение графиков по рисунку: оно одно.
Ответ: 1 решение.

Ход решения

а) $$y=x^n$$ проходит через точку $$(2;256)$$, значит
$$ 256=2^n $$
$$ 2^8=2^n $$
откуда $$n=8$$.
б) $$y=x^n$$ проходит через точку $$(-2;-128)$$, значит
$$ -128=(-2)^n $$
Так как результат отрицательный, показатель нечётный. Получаем
$$ 2^7=128 $$
следовательно, $$n=7$$.
в) $$y=x^n$$ проходит через точку $$(3;243)$$, значит
$$ 243=3^n $$
$$ 3^5=3^n $$
откуда $$n=5$$.
г) $$y=x^n$$ проходит через точку $$(-4;256)$$, значит
$$ 256=(-4)^n $$
Так как число положительное, показатель должен быть чётным. Получаем
$$ (-4)^4=256 $$
следовательно, $$n=4$$.