Упр.12.13 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) на отрезке [-1;1];
б) на луче [1/2; + бесконечность);
в) на полуинтервале (-2;2];
г) на луче (- бесконечность; 3]. Найдите точки пересечения графиков функций:
а) у = х4 и y=1/x
б)у = х5 и у =-1;
в) у = х6 и у = -2х2;
г) у = х7 и у = корень x.
Функция $$y=x^6$$ чётная, при $$x\ge 0$$ возрастает, при $$x\le 0$$ убывает, а наименьшее значение принимает в точке $$x=0$$:
$$y_{\min}=0.$$
На отрезке $$[-1;1]$$:
$$y(0)=0,\quad y(-1)=(-1)^6=1,\quad y(1)=1^6=1.$$
Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
На луче $$\left[\frac12;+\infty\right)$$ функция возрастает, поэтому
$$y_{\min}= \left(\frac12\right)^6=\frac1{64}.$$
Наибольшего значения нет.
На полуинтервале $$(-2;2]$$:
$$y(0)=0,\quad y(2)=2^6=64.$$
Так как $$-2$$ не входит в промежуток, значение $$64$$ достигается в точке $$x=2$$.
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=64.$$
На луче $$(-\infty;3]$$:
$$y(0)=0,\quad y(3)=3^6=729.$$
Наибольшего значения нет, так как при $$x\to -\infty$$ значение $$x^6$$ неограниченно возрастает.
Значит, $$y_{\min}=0.$$
Найдём точки пересечения графиков.
$$y=x^4$$ и $$y=\frac1x$$:
$$x^4=\frac1x \Rightarrow x^5=1 \Rightarrow x=1,$$
$$y=1.$$
Точка пересечения: $$ (1;1). $$
$$y=x^5$$ и $$y=-1$$:
$$x^5=-1 \Rightarrow x=-1,$$
$$y=-1.$$
Точка пересечения: $$(-1;-1).$$
$$y=x^6$$ и $$y=-2x^2$$:
$$x^6=-2x^2 \Rightarrow x^6+2x^2=0 \Rightarrow x^2(x^4+2)=0.$$
Отсюда $$x=0,$$ тогда $$y=0.$$
Точка пересечения: $$ (0;0). $$
$$y=x^7$$ и $$y=\sqrt{x}$$:
Область определения: $$x\ge 0.$$
$$x^7=\sqrt{x} \Rightarrow x^7=x^{1/2} \Rightarrow x^{1/2}(x^{13/2}-1)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=1.$$
При $$x=0$$: $$y=0.$$ При $$x=1$$: $$y=1.$$
Точки пересечения: $$ (0;0) $$ и $$ (1;1). $$
Ответ
1) а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=\frac1{64}$$, $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=64$$; г) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}$$ не существует.
2) а) $$ (1;1) $$; б) $$ (-1;-1) $$; в) $$ (0;0) $$; г) $$ (0;0) $$ и $$ (1;1) $$.
