Упр.12.13 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^6$$:
   а) на отрезке $$[-1;1]$$;
   б) на луче $$\left[\frac{1}{2};+\infty\right)$$;
   в) на полуинтервале $$(-2;2]$$;
   г) на луче $$(-\infty;3]$$.
2. Найдите точки пересечения графиков функций:
   а) $$y=x^4$$ и $$y=\frac{1}{x}$$;
   б) $$y=x^5$$ и $$y=-1$$;
   в) $$y=x^6$$ и $$y=-2x^2$$;
   г) $$y=x^7$$ и $$y=\sqrt{x}$$.

Функция $$y=x^6$$ чётная, при $$x\ge 0$$ возрастает, при $$x\le 0$$ убывает, а наименьшее значение принимает в точке $$x=0$$:

$$y_{\min}=0.$$

1. На отрезке $$[-1;1]$$:

   $$y(0)=0,\quad y(-1)=(-1)^6=1,\quad y(1)=1^6=1.$$

   Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$

2. На луче $$\left[\frac12;+\infty\right)$$ функция возрастает, поэтому

   $$y_{\min}= \left(\frac12\right)^6=\frac1{64}.$$

   Наибольшего значения нет.

3. На полуинтервале $$(-2;2]$$:

   $$y(0)=0,\quad y(2)=2^6=64.$$

   Так как $$-2$$ не входит в промежуток, значение $$64$$ достигается в точке $$x=2$$.

   Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=64.$$

4. На луче $$(-\infty;3]$$:

   $$y(0)=0,\quad y(3)=3^6=729.$$

   Наибольшего значения нет, так как при $$x\to -\infty$$ значение $$x^6$$ неограниченно возрастает.

   Значит, $$y_{\min}=0.$$

Найдём точки пересечения графиков.

1. $$y=x^4$$ и $$y=\frac1x$$:

   $$x^4=\frac1x \Rightarrow x^5=1 \Rightarrow x=1,$$

   $$y=1.$$

   Точка пересечения: $$(1;1).$$

2. $$y=x^5$$ и $$y=-1$$:

   $$x^5=-1 \Rightarrow x=-1,$$

   $$y=-1.$$

   Точка пересечения: $$(-1;-1).$$

3. $$y=x^6$$ и $$y=-2x^2$$:

   $$x^6=-2x^2 \Rightarrow x^6+2x^2=0 \Rightarrow x^2(x^4+2)=0.$$

   Отсюда $$x=0,$$ тогда $$y=0.$$

   Точка пересечения: $$(0;0).$$

4. $$y=x^7$$ и $$y=\sqrt{x}$$:

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   $$x^7=\sqrt{x} \Rightarrow x^7=x^{1/2} \Rightarrow x^{1/2}(x^{13/2}-1)=0.$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=1.$$

   При $$x=0$$: $$y=0.$$ При $$x=1$$: $$y=1.$$

   Точки пересечения: $$(0;0)$$ и $$(1;1).$$

Ответ

1) а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=\frac1{64}$$, $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=64$$; г) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}$$ не существует.
2) а) $$(1;1)$$; б) $$(-1;-1)$$; в) $$(0;0)$$; г) $$(0;0)$$ и $$(1;1)$$.