Упр.12.11 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) у= (х + 2)4;
б) у = — (x- 1)5;
в) y=x6+1;
г) y=-x7-1.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=x6:
а) на отрезке [-1;1];
б) на луче [1/2; + бесконечность);
в) на полуинтервале (-2;2];
г) на луче (- бесконечность; 3].
Рассмотрим преобразования графиков степенных функций.
а) $$y=(x+2)^4$$
Это график функции $$y=x^4$$, сдвинутый на 2 единицы влево. Вершина графика: $$(-2;0)$$, ветви направлены вверх.
Для построения удобно взять несколько точек:
$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ \hline y & 16 & 1 & 0 & 1 & 16 \end{array} $$
б) $$y=-(x-1)^5$$
Это график функции $$y=x^5$$, сдвинутый на 1 единицу вправо и отражённый относительно оси $$Ox$$. Точка перегиба: $$ (1;0) $$, график убывает.
Удобные точки:
$$ \begin{array}{c|cccc} x & 5 & 4 & 6 & 3{,}5 \\ \hline y & 0 & 1 & -1 & 7{,}6 \end{array} $$
в) $$y=x^6+1$$
Это график функции $$y=x^6$$, сдвинутый вверх на 1 единицу. Минимум достигается при $$x=0$$: $$y_{\min}=1$$.
Удобные точки:
$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & -1 & 1 & 1{,}5 & -1{,}5 \\ \hline y & 1 & 2 & 2 & 12{,}4 & 12{,}4 \end{array} $$
г) $$y=-x^7-1$$
Это график функции $$y=x^7$$, отражённый относительно оси $$Ox$$ и сдвинутый вниз на 1 единицу. Точка перегиба: $$ (0;-1) $$, график убывает.
Удобные точки:
$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & -1 & 1 & 1{,}2 & -1{,}2 \\ \hline y & -1 & 0 & -2 & -4{,}6 & 2{,}6 \end{array} $$
Теперь найдём наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^6$$.
Функция $$y=x^6$$ чётная, неотрицательная и убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$. Поэтому минимум достигается в точке $$x=0$$.
а) На отрезке $$[-1;1]$$:
$$y_{\min}=y(0)=0,\qquad y_{\max}=y(-1)=y(1)=1.$$
б) На луче $$\left[\frac12;+\infty\right)$$:
Так как функция возрастает, то
$$y_{\min}=y\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^6=\frac1{64},$$
а $$y_{\max}$$ не существует.
в) На полуинтервале $$(-2;2]$$:
$$y_{\min}=y(0)=0,\qquad y_{\max}=y(2)=2^6=64.$$
г) На луче $$(-\infty;3]$$:
Минимум достигается в точке $$x=0$$:
$$y_{\min}=0,$$
а $$y_{\max}$$ не существует, так как при $$x\to -\infty$$ значение $$x^6$$ неограниченно возрастает.
Ответ
а) $$y=(x+2)^4$$; б) $$y=-(x-1)^5$$; в) $$y=x^6+1$$; г) $$y=-x^7-1$$.
Для $$y=x^6$$: а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=\frac1{64},\ y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=64$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}$$ не существует.
