Упр.11.4 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что функция является нечётной:
а) $$y=x^2(2x-x^3);$$ б) $$y=\frac{x^4+1}{2x^3};$$ в) $$y=x(5-x^2);$$ г) $$y=\frac{3x}{x^6+2}.$$

Подробный ответ

Функция является нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и выполняется равенство $$f(-x)=-f(x).$$

$$y=x^2(2x-x^3)$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ она симметрична.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=(-x)^2\bigl(2(-x)-(-x)^3\bigr)=x^2(-2x+x^3)=-x^2(2x-x^3)=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$y=\frac{x^4+1}{2x^3}, \quad x\ne 0$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ она симметрична.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=\frac{(-x)^4+1}{2(-x)^3}=\frac{x^4+1}{-2x^3}=-\frac{x^4+1}{2x^3}=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$y=x(5-x^2)$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ она симметрична.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=(-x)\bigl(5-(-x)^2\bigr)=-x(5-x^2)=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$y=\frac{3x}{x^6+2}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ так как $$x^6+2>0$$ при всех $$x.$$ Она симметрична.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=\frac{3(-x)}{(-x)^6+2}=\frac{-3x}{x^6+2}=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.